Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59327 / 29729
↖ ↑ ↗
← N 69.625554°
W 17.053528°		 ← 106.34 m → N 69.625554°
W 17.050781°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
N 69.624598°
W 17.053528°		 ← 106.34 m →
11 307 m²		 N 69.624598°
W 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452632904052734 y=0.226818084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452632904052734 × 217)
    floor (0.452632904052734 × 131072)
    floor (59327.5)     		tx = 59327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226818084716797 × 217)
    floor (0.226818084716797 × 131072)
    floor (29729.5)     		ty = 29729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59327 / 29729 ti = "17/59327/29729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59327/29729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59327 ÷ 217
    59327 ÷ 131072     		x = 0.452629089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29729 ÷ 217
    29729 ÷ 131072     		y = 0.226814270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452629089355469 × 2 - 1) × π
    -0.0947418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29764021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226814270019531 × 2 - 1) × π
    0.546371459960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.71647656469535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29764021} λ = -0.29764021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71647656469535))-π/2
    2×atan(5.56488636368128)-π/2
    2×1.39299574341782-π/2
    2.78599148683563-1.57079632675     		φ = 1.21519516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29764021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.053528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21519516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.625554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59327 KachelY 29729 -0.29764021 1.21519516 -17.053528 69.625554
    Oben rechts KachelX + 1 59328 KachelY 29729 -0.29759227 1.21519516 -17.050781 69.625554
    Unten links KachelX 59327 KachelY + 1 29730 -0.29764021 1.21517847 -17.053528 69.624598
    Unten rechts KachelX + 1 59328 KachelY + 1 29730 -0.29759227 1.21517847 -17.050781 69.624598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21519516-1.21517847) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dl = 106.331990000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21519516-1.21517847) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dr = 106.331990000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29764021--0.29759227) × cos(1.21519516) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348153984326421 × 6371000     		do = 106.335188296899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29764021--0.29759227) × cos(1.21517847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348169630107462 × 6371000     		du = 106.339966921151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21519516)-sin(1.21517847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348153984326421-0.348169630107462)×R²
    abs(-0.29759227--0.29764021)×1.56457810410182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56457810410182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56457810410182e-05×40589641000000     		ar = 11307.0862392625m²