Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59326 / 59658
↖ ↑ ↗
← S 81.316618°
E145.887451°		 ← 92.21 m → S 81.316618°
E145.892944°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 81.317448°
E145.887451°		 ← 92.20 m →
8 506 m²		 S 81.317448°
E145.892944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905250549316406 y=0.910316467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905250549316406 × 216)
    floor (0.905250549316406 × 65536)
    floor (59326.5)     		tx = 59326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910316467285156 × 216)
    floor (0.910316467285156 × 65536)
    floor (59658.5)     		ty = 59658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59326 / 59658 ti = "16/59326/59658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59326/59658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59326 ÷ 216
    59326 ÷ 65536     		x = 0.905242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59658 ÷ 216
    59658 ÷ 65536     		y = 0.910308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905242919921875 × 2 - 1) × π
    0.81048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54621636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.82061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57804646156662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54621636} λ = 2.54621636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57804646156662))-π/2
    2×atan(0.0759221761347903)-π/2
    2×0.0757768022980241-π/2
    0.151553604596048-1.57079632675     		φ = -1.41924272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54621636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41924272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.316618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59326 KachelY 59658 2.54621636 -1.41924272 145.887451 -81.316618
    Oben rechts KachelX + 1 59327 KachelY 59658 2.54631223 -1.41924272 145.892944 -81.316618
    Unten links KachelX 59326 KachelY + 1 59659 2.54621636 -1.41925720 145.887451 -81.317448
    Unten rechts KachelX + 1 59327 KachelY + 1 59659 2.54631223 -1.41925720 145.892944 -81.317448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41924272--1.41925720) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dl = 92.2520800009552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41924272--1.41925720) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dr = 92.2520800009552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54621636-2.54631223) × cos(-1.41924272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150974112971976 × 6371000     		do = 92.2131417898795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54621636-2.54631223) × cos(-1.41925720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150959798930012 × 6371000     		du = 92.2043989481086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41924272)-sin(-1.41925720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150974112971976-0.150959798930012)×R²
    abs(2.54631223-2.54621636)×1.43140419639198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43140419639198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43140419639198e-05×40589641000000     		ar = 8506.45086106034m²