Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59326 / 45543
↖ ↑ ↗
← N 48.035856°
W 17.056275°		 ← 204.23 m → N 48.035856°
W 17.053528°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
N 48.034019°
W 17.056275°		 ← 204.23 m →
41 702 m²		 N 48.034019°
W 17.053528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452625274658203 y=0.347469329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452625274658203 × 217)
    floor (0.452625274658203 × 131072)
    floor (59326.5)     		tx = 59326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347469329833984 × 217)
    floor (0.347469329833984 × 131072)
    floor (45543.5)     		ty = 45543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59326 / 45543 ti = "17/59326/45543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59326/45543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59326 ÷ 217
    59326 ÷ 131072     		x = 0.452621459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45543 ÷ 217
    45543 ÷ 131072     		y = 0.347465515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452621459960938 × 2 - 1) × π
    -0.094757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29768815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347465515136719 × 2 - 1) × π
    0.305068969726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.958402434103783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29768815} λ = -0.29768815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958402434103783))-π/2
    2×atan(2.60752744723962)-π/2
    2×1.20459008418954-π/2
    2.40918016837907-1.57079632675     		φ = 0.83838384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29768815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.056275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83838384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.035856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59326 KachelY 45543 -0.29768815 0.83838384 -17.056275 48.035856
    Oben rechts KachelX + 1 59327 KachelY 45543 -0.29764021 0.83838384 -17.053528 48.035856
    Unten links KachelX 59326 KachelY + 1 45544 -0.29768815 0.83835179 -17.056275 48.034019
    Unten rechts KachelX + 1 59327 KachelY + 1 45544 -0.29764021 0.83835179 -17.053528 48.034019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83838384-0.83835179) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83838384-0.83835179) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29768815--0.29764021) × cos(0.83838384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66866541604488 × 6371000     		do = 204.227629507781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29768815--0.29764021) × cos(0.83835179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668689246909098 × 6371000     		du = 204.23490806712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83838384)-sin(0.83835179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66866541604488-0.668689246909098)×R²
    abs(-0.29764021--0.29768815)×2.38308642187546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38308642187546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38308642187546e-05×40589641000000     		ar = 41702.0951044023m²