Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59324 / 33498
↖ ↑ ↗
← N 65.701258°
W 17.061768°		 ← 125.68 m → N 65.701258°
W 17.059021°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 65.700128°
W 17.061768°		 ← 125.69 m →
15 790 m²		 N 65.700128°
W 17.059021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452610015869141 y=0.255573272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452610015869141 × 217)
    floor (0.452610015869141 × 131072)
    floor (59324.5)     		tx = 59324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255573272705078 × 217)
    floor (0.255573272705078 × 131072)
    floor (33498.5)     		ty = 33498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59324 / 33498 ti = "17/59324/33498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59324/33498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59324 ÷ 217
    59324 ÷ 131072     		x = 0.452606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33498 ÷ 217
    33498 ÷ 131072     		y = 0.255569458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.09478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29778402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255569458007812 × 2 - 1) × π
    0.488861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53580239002736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29778402} λ = -0.29778402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53580239002736))-π/2
    2×atan(4.64505117778436)-π/2
    2×1.35874979992148-π/2
    2.71749959984297-1.57079632675     		φ = 1.14670327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29778402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14670327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.701258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59324 KachelY 33498 -0.29778402 1.14670327 -17.061768 65.701258
    Oben rechts KachelX + 1 59325 KachelY 33498 -0.29773608 1.14670327 -17.059021 65.701258
    Unten links KachelX 59324 KachelY + 1 33499 -0.29778402 1.14668355 -17.061768 65.700128
    Unten rechts KachelX + 1 59325 KachelY + 1 33499 -0.29773608 1.14668355 -17.059021 65.700128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14670327-1.14668355) × R
    1.97199999998343e-05 × 6371000     		dl = 125.636119998944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14670327-1.14668355) × R
    1.97199999998343e-05 × 6371000     		dr = 125.636119998944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29778402--0.29773608) × cos(1.14670327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41149435189187 × 6371000     		do = 125.680966932313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29778402--0.29773608) × cos(1.14668355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411512324862607 × 6371000     		du = 125.6864563402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14670327)-sin(1.14668355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41149435189187-0.411512324862607)×R²
    abs(-0.29773608--0.29778402)×1.79729707363019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79729707363019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79729707363019e-05×40589641000000     		ar = 15790.4138777124m²