Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59324 / 29736
↖ ↑ ↗
← N 69.618860°
W 17.061768°		 ← 106.37 m → N 69.618860°
W 17.059021°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 69.617903°
W 17.061768°		 ← 106.37 m →
11 317 m²		 N 69.617903°
W 17.059021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452610015869141 y=0.226871490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452610015869141 × 217)
    floor (0.452610015869141 × 131072)
    floor (59324.5)     		tx = 59324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226871490478516 × 217)
    floor (0.226871490478516 × 131072)
    floor (29736.5)     		ty = 29736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59324 / 29736 ti = "17/59324/29736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59324/29736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59324 ÷ 217
    59324 ÷ 131072     		x = 0.452606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29736 ÷ 217
    29736 ÷ 131072     		y = 0.22686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.09478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29778402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22686767578125 × 2 - 1) × π
    0.5462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71614100639801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29778402} λ = -0.29778402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71614100639801))-π/2
    2×atan(5.5630193331545)-π/2
    2×1.39293732125056-π/2
    2.78587464250112-1.57079632675     		φ = 1.21507832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29778402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21507832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.618860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59324 KachelY 29736 -0.29778402 1.21507832 -17.061768 69.618860
    Oben rechts KachelX + 1 59325 KachelY 29736 -0.29773608 1.21507832 -17.059021 69.618860
    Unten links KachelX 59324 KachelY + 1 29737 -0.29778402 1.21506162 -17.061768 69.617903
    Unten rechts KachelX + 1 59325 KachelY + 1 29737 -0.29773608 1.21506162 -17.059021 69.617903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21507832-1.21506162) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21507832-1.21506162) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29778402--0.29773608) × cos(1.21507832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348263512130842 × 6371000     		do = 106.368640907492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29778402--0.29773608) × cos(1.21506162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348279166606748 × 6371000     		du = 106.37342218738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21507832)-sin(1.21506162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348263512130842-0.348279166606748)×R²
    abs(-0.29773608--0.29778402)×1.56544759065125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56544759065125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56544759065125e-05×40589641000000     		ar = 11317.4203615461m²