Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59323 / 84668
↖ ↑ ↗
← S 46.430285°
W 17.064514°		 ← 210.51 m → S 46.430285°
W 17.061768°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 46.432178°
W 17.064514°		 ← 210.50 m →
44 311 m²		 S 46.432178°
W 17.061768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452602386474609 y=0.645969390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452602386474609 × 217)
    floor (0.452602386474609 × 131072)
    floor (59323.5)     		tx = 59323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645969390869141 × 217)
    floor (0.645969390869141 × 131072)
    floor (84668.5)     		ty = 84668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59323 / 84668 ti = "17/59323/84668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59323/84668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59323 ÷ 217
    59323 ÷ 131072     		x = 0.452598571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84668 ÷ 217
    84668 ÷ 131072     		y = 0.645965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452598571777344 × 2 - 1) × π
    -0.0948028564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29783196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.29193115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.917128763530914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29783196} λ = -0.29783196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917128763530914))-π/2
    2×atan(0.39966492775748)-π/2
    2×0.380217488360089-π/2
    0.760434976720178-1.57079632675     		φ = -0.81036135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29783196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.064514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81036135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.430285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59323 KachelY 84668 -0.29783196 -0.81036135 -17.064514 -46.430285
    Oben rechts KachelX + 1 59324 KachelY 84668 -0.29778402 -0.81036135 -17.061768 -46.430285
    Unten links KachelX 59323 KachelY + 1 84669 -0.29783196 -0.81039439 -17.064514 -46.432178
    Unten rechts KachelX + 1 59324 KachelY + 1 84669 -0.29778402 -0.81039439 -17.061768 -46.432178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81036135--0.81039439) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dl = 210.497840000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81036135--0.81039439) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dr = 210.497840000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29783196--0.29778402) × cos(-0.81036135) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689236666771762 × 6371000     		do = 210.510618984004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29783196--0.29778402) × cos(-0.81039439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689212727716963 × 6371000     		du = 210.503307380478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81036135)-sin(-0.81039439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689236666771762-0.689212727716963)×R²
    abs(-0.29778402--0.29783196)×2.39390547985829e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39390547985829e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39390547985829e-05×40589641000000     		ar = 44311.2610588535m²