Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59323 / 59709
↖ ↑ ↗
← S 81.358812°
E145.870972°		 ← 91.77 m → S 81.358812°
E145.876465°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 81.359637°
E145.870972°		 ← 91.76 m →
8 419 m²		 S 81.359637°
E145.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905204772949219 y=0.911094665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905204772949219 × 216)
    floor (0.905204772949219 × 65536)
    floor (59323.5)     		tx = 59323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911094665527344 × 216)
    floor (0.911094665527344 × 65536)
    floor (59709.5)     		ty = 59709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59323 / 59709 ti = "16/59323/59709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59323/59709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59323 ÷ 216
    59323 ÷ 65536     		x = 0.905197143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59709 ÷ 216
    59709 ÷ 65536     		y = 0.911087036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905197143554688 × 2 - 1) × π
    0.810394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54592874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911087036132812 × 2 - 1) × π
    -0.822174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58293602532787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54592874} λ = 2.54592874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58293602532787))-π/2
    2×atan(0.0755518559036737)-π/2
    2×0.075408594148166-π/2
    0.150817188296332-1.57079632675     		φ = -1.41997914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54592874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.870972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41997914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.358812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59323 KachelY 59709 2.54592874 -1.41997914 145.870972 -81.358812
    Oben rechts KachelX + 1 59324 KachelY 59709 2.54602461 -1.41997914 145.876465 -81.358812
    Unten links KachelX 59323 KachelY + 1 59710 2.54592874 -1.41999354 145.870972 -81.359637
    Unten rechts KachelX + 1 59324 KachelY + 1 59710 2.54602461 -1.41999354 145.876465 -81.359637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41997914--1.41999354) × R
    1.4400000000192e-05 × 6371000     		dl = 91.7424000012235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41997914--1.41999354) × R
    1.4400000000192e-05 × 6371000     		dr = 91.7424000012235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54592874-2.54602461) × cos(-1.41997914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150246093154773 × 6371000     		do = 91.768476189214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54592874-2.54602461) × cos(-1.41999354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150231856598939 × 6371000     		du = 91.7597806750238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41997914)-sin(-1.41999354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150246093154773-0.150231856598939)×R²
    abs(2.54602461-2.54592874)×1.4236555833852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4236555833852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4236555833852e-05×40589641000000     		ar = 8418.66137686196m²