Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59322 / 84667
↖ ↑ ↗
← S 46.428392°
W 17.067260°		 ← 210.47 m → S 46.428392°
W 17.064514°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 46.430285°
W 17.067260°		 ← 210.47 m →
44 304 m²		 S 46.430285°
W 17.064514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452594757080078 y=0.645961761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452594757080078 × 217)
    floor (0.452594757080078 × 131072)
    floor (59322.5)     		tx = 59322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645961761474609 × 217)
    floor (0.645961761474609 × 131072)
    floor (84667.5)     		ty = 84667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59322 / 84667 ti = "17/59322/84667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59322/84667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59322 ÷ 217
    59322 ÷ 131072     		x = 0.452590942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84667 ÷ 217
    84667 ÷ 131072     		y = 0.645957946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452590942382812 × 2 - 1) × π
    -0.094818115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29787989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645957946777344 × 2 - 1) × π
    -0.291915893554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.917080826631294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29787989} λ = -0.29787989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917080826631294))-π/2
    2×atan(0.399684086914215)-π/2
    2×0.380234008581428-π/2
    0.760468017162857-1.57079632675     		φ = -0.81032831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29787989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.067260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81032831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.428392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59322 KachelY 84667 -0.29787989 -0.81032831 -17.067260 -46.428392
    Oben rechts KachelX + 1 59323 KachelY 84667 -0.29783196 -0.81032831 -17.064514 -46.428392
    Unten links KachelX 59322 KachelY + 1 84668 -0.29787989 -0.81036135 -17.067260 -46.430285
    Unten rechts KachelX + 1 59323 KachelY + 1 84668 -0.29783196 -0.81036135 -17.064514 -46.430285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81032831--0.81036135) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81032831--0.81036135) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29787989--0.29783196) × cos(-0.81032831) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689260605074161 × 6371000     		do = 210.474017564359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29787989--0.29783196) × cos(-0.81036135) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689236666771762 × 6371000     		du = 210.466707715744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81032831)-sin(-0.81036135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689260605074161-0.689236666771762)×R²
    abs(-0.29783196--0.29787989)×2.39383023991069e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39383023991069e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39383023991069e-05×40589641000000     		ar = 44303.5567236486m²