Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59322 / 59662
↖ ↑ ↗
← S 81.319935°
E145.865479°		 ← 92.18 m → S 81.319935°
E145.870972°		 →
↑
92.19 m
↓
↑
92.19 m
↓
S 81.320764°
E145.865479°		 ← 92.17 m →
8 497 m²		 S 81.320764°
E145.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905189514160156 y=0.910377502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905189514160156 × 216)
    floor (0.905189514160156 × 65536)
    floor (59322.5)     		tx = 59322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910377502441406 × 216)
    floor (0.910377502441406 × 65536)
    floor (59662.5)     		ty = 59662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59322 / 59662 ti = "16/59322/59662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59322/59662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59322 ÷ 216
    59322 ÷ 65536     		x = 0.905181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59662 ÷ 216
    59662 ÷ 65536     		y = 0.910369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905181884765625 × 2 - 1) × π
    0.81036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54583287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.82073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57842995676358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54583287} λ = 2.54583287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57842995676358))-π/2
    2×atan(0.0758930659270691)-π/2
    2×0.0757478588614293-π/2
    0.151495717722859-1.57079632675     		φ = -1.41930061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54583287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.865479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41930061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.319935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59322 KachelY 59662 2.54583287 -1.41930061 145.865479 -81.319935
    Oben rechts KachelX + 1 59323 KachelY 59662 2.54592874 -1.41930061 145.870972 -81.319935
    Unten links KachelX 59322 KachelY + 1 59663 2.54583287 -1.41931508 145.865479 -81.320764
    Unten rechts KachelX + 1 59323 KachelY + 1 59663 2.54592874 -1.41931508 145.870972 -81.320764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41930061--1.41931508) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dl = 92.1883699999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41930061--1.41931508) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dr = 92.1883699999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54583287-2.54592874) × cos(-1.41930061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150916886270616 × 6371000     		do = 92.1781884205711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54583287-2.54592874) × cos(-1.41931508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150902581987615 × 6371000     		du = 92.1694515394555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41930061)-sin(-1.41931508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150916886270616-0.150902581987615)×R²
    abs(2.54592874-2.54583287)×1.4304283001032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4304283001032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4304283001032e-05×40589641000000     		ar = 8497.35422063947m²