Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59321 / 59663
↖ ↑ ↗
← S 81.320764°
E145.859985°		 ← 92.18 m → S 81.320764°
E145.865479°		 →
↑
92.12 m
↓
↑
92.12 m
↓
S 81.321592°
E145.859985°		 ← 92.17 m →
8 492 m²		 S 81.321592°
E145.865479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905174255371094 y=0.910392761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905174255371094 × 216)
    floor (0.905174255371094 × 65536)
    floor (59321.5)     		tx = 59321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910392761230469 × 216)
    floor (0.910392761230469 × 65536)
    floor (59663.5)     		ty = 59663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59321 / 59663 ti = "16/59321/59663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59321/59663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59321 ÷ 216
    59321 ÷ 65536     		x = 0.905166625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59663 ÷ 216
    59663 ÷ 65536     		y = 0.910385131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905166625976562 × 2 - 1) × π
    0.810333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54573699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910385131835938 × 2 - 1) × π
    -0.820770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57852583056282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54573699} λ = 2.54573699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57852583056282))-π/2
    2×atan(0.0758857901192879)-π/2
    2×0.0757406247165735-π/2
    0.151481249433147-1.57079632675     		φ = -1.41931508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54573699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41931508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.320764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59321 KachelY 59663 2.54573699 -1.41931508 145.859985 -81.320764
    Oben rechts KachelX + 1 59322 KachelY 59663 2.54583287 -1.41931508 145.865479 -81.320764
    Unten links KachelX 59321 KachelY + 1 59664 2.54573699 -1.41932954 145.859985 -81.321592
    Unten rechts KachelX + 1 59322 KachelY + 1 59664 2.54583287 -1.41932954 145.865479 -81.321592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41931508--1.41932954) × R
    1.44599999998274e-05 × 6371000     		dl = 92.1246599989003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41931508--1.41932954) × R
    1.44599999998274e-05 × 6371000     		dr = 92.1246599989003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54573699-2.54583287) × cos(-1.41931508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150902581987615 × 6371000     		do = 92.1790655428955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54573699-2.54583287) × cos(-1.41932954) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150888287558526 × 6371000     		du = 92.1703337697308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41931508)-sin(-1.41932954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150902581987615-0.150888287558526)×R²
    abs(2.54583287-2.54573699)×1.42944290887903e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42944290887903e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42944290887903e-05×40589641000000     		ar = 8491.56286654535m²