Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59321 / 59640
↖ ↑ ↗
← S 81.301678°
E145.859985°		 ← 92.38 m → S 81.301678°
E145.865479°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 81.302508°
E145.859985°		 ← 92.37 m →
8 534 m²		 S 81.302508°
E145.865479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905174255371094 y=0.910041809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905174255371094 × 216)
    floor (0.905174255371094 × 65536)
    floor (59321.5)     		tx = 59321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910041809082031 × 216)
    floor (0.910041809082031 × 65536)
    floor (59640.5)     		ty = 59640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59321 / 59640 ti = "16/59321/59640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59321/59640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59321 ÷ 216
    59321 ÷ 65536     		x = 0.905166625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59640 ÷ 216
    59640 ÷ 65536     		y = 0.9100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905166625976562 × 2 - 1) × π
    0.810333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54573699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5763207331803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54573699} λ = 2.54573699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5763207331803))-π/2
    2×atan(0.0760533103077352)-π/2
    2×0.0759071836310914-π/2
    0.151814367262183-1.57079632675     		φ = -1.41898196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54573699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41898196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.301678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59321 KachelY 59640 2.54573699 -1.41898196 145.859985 -81.301678
    Oben rechts KachelX + 1 59322 KachelY 59640 2.54583287 -1.41898196 145.865479 -81.301678
    Unten links KachelX 59321 KachelY + 1 59641 2.54573699 -1.41899646 145.859985 -81.302508
    Unten rechts KachelX + 1 59322 KachelY + 1 59641 2.54583287 -1.41899646 145.865479 -81.302508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41898196--1.41899646) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41898196--1.41899646) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54573699-2.54583287) × cos(-1.41898196) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151231878931244 × 6371000     		do = 92.3802170682707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54573699-2.54583287) × cos(-1.41899646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151217545689779 × 6371000     		du = 92.3714615865083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41898196)-sin(-1.41899646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151231878931244-0.151217545689779)×R²
    abs(2.54583287-2.54573699)×1.43332414655473e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43332414655473e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43332414655473e-05×40589641000000     		ar = 8533.63384900889m²