Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59319 / 81576
↖ ↑ ↗
← S 40.262761°
W 17.075500°		 ← 233.02 m → S 40.262761°
W 17.072754°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
S 40.264857°
W 17.075500°		 ← 233.01 m →
54 304 m²		 S 40.264857°
W 17.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452571868896484 y=0.622379302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452571868896484 × 217)
    floor (0.452571868896484 × 131072)
    floor (59319.5)     		tx = 59319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622379302978516 × 217)
    floor (0.622379302978516 × 131072)
    floor (81576.5)     		ty = 81576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59319 / 81576 ti = "17/59319/81576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59319/81576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59319 ÷ 217
    59319 ÷ 131072     		x = 0.452568054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81576 ÷ 217
    81576 ÷ 131072     		y = 0.62237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452568054199219 × 2 - 1) × π
    -0.0948638916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29802370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.768907869905701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29802370} λ = -0.29802370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.768907869905701))-π/2
    2×atan(0.463519015046724)-π/2
    2×0.43403929363796-π/2
    0.868078587275919-1.57079632675     		φ = -0.70271774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29802370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.075500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70271774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.262761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59319 KachelY 81576 -0.29802370 -0.70271774 -17.075500 -40.262761
    Oben rechts KachelX + 1 59320 KachelY 81576 -0.29797577 -0.70271774 -17.072754 -40.262761
    Unten links KachelX 59319 KachelY + 1 81577 -0.29802370 -0.70275432 -17.075500 -40.264857
    Unten rechts KachelX + 1 59320 KachelY + 1 81577 -0.29797577 -0.70275432 -17.072754 -40.264857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70271774--0.70275432) × R
    3.65800000000638e-05 × 6371000     		dl = 233.051180000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70271774--0.70275432) × R
    3.65800000000638e-05 × 6371000     		dr = 233.051180000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29802370--0.29797577) × cos(-0.70271774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763088548659665 × 6371000     		do = 233.018268288612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29802370--0.29797577) × cos(-0.70275432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763064906716519 × 6371000     		du = 233.011048936859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70271774)-sin(-0.70275432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763088548659665-0.763064906716519)×R²
    abs(-0.29797577--0.29802370)×2.36419431467461e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36419431467461e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36419431467461e-05×40589641000000     		ar = 54304.3411532519m²