Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59319 / 60169
↖ ↑ ↗
← S 81.730302°
E145.848999°		 ← 87.86 m → S 81.730302°
E145.854492°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
S 81.731092°
E145.848999°		 ← 87.85 m →
7 719 m²		 S 81.731092°
E145.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905143737792969 y=0.918113708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905143737792969 × 216)
    floor (0.905143737792969 × 65536)
    floor (59319.5)     		tx = 59319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918113708496094 × 216)
    floor (0.918113708496094 × 65536)
    floor (60169.5)     		ty = 60169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59319 / 60169 ti = "16/59319/60169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59319/60169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59319 ÷ 216
    59319 ÷ 65536     		x = 0.905136108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60169 ÷ 216
    60169 ÷ 65536     		y = 0.918106079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905136108398438 × 2 - 1) × π
    0.810272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54554524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918106079101562 × 2 - 1) × π
    -0.836212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62703797297832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54554524} λ = 2.54554524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62703797297832))-π/2
    2×atan(0.0722922770979667)-π/2
    2×0.0721667332084762-π/2
    0.144333466416952-1.57079632675     		φ = -1.42646286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54554524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42646286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.730302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59319 KachelY 60169 2.54554524 -1.42646286 145.848999 -81.730302
    Oben rechts KachelX + 1 59320 KachelY 60169 2.54564112 -1.42646286 145.854492 -81.730302
    Unten links KachelX 59319 KachelY + 1 60170 2.54554524 -1.42647665 145.848999 -81.731092
    Unten rechts KachelX + 1 59320 KachelY + 1 60170 2.54564112 -1.42647665 145.854492 -81.731092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42646286--1.42647665) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dl = 87.8560899993788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42646286--1.42647665) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dr = 87.8560899993788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54554524-2.54564112) × cos(-1.42646286) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143832859119879 × 6371000     		do = 87.8605148659519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54554524-2.54564112) × cos(-1.42647665) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143819212494692 × 6371000     		du = 87.8521788047592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42646286)-sin(-1.42647665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143832859119879-0.143819212494692)×R²
    abs(2.54564112-2.54554524)×1.36466251873524e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36466251873524e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36466251873524e-05×40589641000000     		ar = 7718.71511447933m²