Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59319 / 59641
↖ ↑ ↗
← S 81.302508°
E145.848999°		 ← 92.37 m → S 81.302508°
E145.854492°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 81.303339°
E145.848999°		 ← 92.36 m →
8 533 m²		 S 81.303339°
E145.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905143737792969 y=0.910057067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905143737792969 × 216)
    floor (0.905143737792969 × 65536)
    floor (59319.5)     		tx = 59319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910057067871094 × 216)
    floor (0.910057067871094 × 65536)
    floor (59641.5)     		ty = 59641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59319 / 59641 ti = "16/59319/59641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59319/59641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59319 ÷ 216
    59319 ÷ 65536     		x = 0.905136108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59641 ÷ 216
    59641 ÷ 65536     		y = 0.910049438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905136108398438 × 2 - 1) × π
    0.810272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54554524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910049438476562 × 2 - 1) × π
    -0.820098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57641660697954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54554524} λ = 2.54554524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57641660697954))-π/2
    2×atan(0.0760460191374529)-π/2
    2×0.0758999343871846-π/2
    0.151799868774369-1.57079632675     		φ = -1.41899646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54554524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41899646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.302508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59319 KachelY 59641 2.54554524 -1.41899646 145.848999 -81.302508
    Oben rechts KachelX + 1 59320 KachelY 59641 2.54564112 -1.41899646 145.854492 -81.302508
    Unten links KachelX 59319 KachelY + 1 59642 2.54554524 -1.41901096 145.848999 -81.303339
    Unten rechts KachelX + 1 59320 KachelY + 1 59642 2.54564112 -1.41901096 145.854492 -81.303339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41899646--1.41901096) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41899646--1.41901096) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54554524-2.54564112) × cos(-1.41899646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151217545689779 × 6371000     		do = 92.3714615865083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54554524-2.54564112) × cos(-1.41901096) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151203212416519 × 6371000     		du = 92.3627060853247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41899646)-sin(-1.41901096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151217545689779-0.151203212416519)×R²
    abs(2.54564112-2.54554524)×1.43332732590318e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43332732590318e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43332732590318e-05×40589641000000     		ar = 8532.82502165597m²