Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59319 / 59609
↖ ↑ ↗
← S 81.275886°
E145.848999°		 ← 92.65 m → S 81.275886°
E145.854492°		 →
↑
92.70 m
↓
↑
92.70 m
↓
S 81.276720°
E145.848999°		 ← 92.64 m →
8 588 m²		 S 81.276720°
E145.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905143737792969 y=0.909568786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905143737792969 × 216)
    floor (0.905143737792969 × 65536)
    floor (59319.5)     		tx = 59319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909568786621094 × 216)
    floor (0.909568786621094 × 65536)
    floor (59609.5)     		ty = 59609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59319 / 59609 ti = "16/59319/59609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59319/59609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59319 ÷ 216
    59319 ÷ 65536     		x = 0.905136108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59609 ÷ 216
    59609 ÷ 65536     		y = 0.909561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905136108398438 × 2 - 1) × π
    0.810272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54554524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909561157226562 × 2 - 1) × π
    -0.819122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57334864540385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54554524} λ = 2.54554524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57334864540385))-π/2
    2×atan(0.0762796836557537)-π/2
    2×0.0761322512852525-π/2
    0.152264502570505-1.57079632675     		φ = -1.41853182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54554524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41853182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.275886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59319 KachelY 59609 2.54554524 -1.41853182 145.848999 -81.275886
    Oben rechts KachelX + 1 59320 KachelY 59609 2.54564112 -1.41853182 145.854492 -81.275886
    Unten links KachelX 59319 KachelY + 1 59610 2.54554524 -1.41854637 145.848999 -81.276720
    Unten rechts KachelX + 1 59320 KachelY + 1 59610 2.54564112 -1.41854637 145.854492 -81.276720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41853182--1.41854637) × R
    1.45499999999466e-05 × 6371000     		dl = 92.6980499996595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41853182--1.41854637) × R
    1.45499999999466e-05 × 6371000     		dr = 92.6980499996595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54554524-2.54564112) × cos(-1.41853182) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151676826225983 × 6371000     		do = 92.6520137817838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54554524-2.54564112) × cos(-1.41854637) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151662444551401 × 6371000     		du = 92.6432287145804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41853182)-sin(-1.41854637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151676826225983-0.151662444551401)×R²
    abs(2.54564112-2.54554524)×1.43816745822312e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43816745822312e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43816745822312e-05×40589641000000     		ar = 8588.25382705243m²