Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59319 / 45547
↖ ↑ ↗
← N 48.028509°
W 17.075500°		 ← 204.21 m → N 48.028509°
W 17.072754°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 48.026672°
W 17.075500°		 ← 204.22 m →
41 712 m²		 N 48.026672°
W 17.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452571868896484 y=0.347499847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452571868896484 × 217)
    floor (0.452571868896484 × 131072)
    floor (59319.5)     		tx = 59319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347499847412109 × 217)
    floor (0.347499847412109 × 131072)
    floor (45547.5)     		ty = 45547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59319 / 45547 ti = "17/59319/45547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59319/45547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59319 ÷ 217
    59319 ÷ 131072     		x = 0.452568054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45547 ÷ 217
    45547 ÷ 131072     		y = 0.347496032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452568054199219 × 2 - 1) × π
    -0.0948638916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29802370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347496032714844 × 2 - 1) × π
    0.305007934570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.958210686505303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29802370} λ = -0.29802370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958210686505303))-π/2
    2×atan(2.60702750804624)-π/2
    2×1.20452597212564-π/2
    2.40905194425128-1.57079632675     		φ = 0.83825562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29802370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.075500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83825562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.028509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59319 KachelY 45547 -0.29802370 0.83825562 -17.075500 48.028509
    Oben rechts KachelX + 1 59320 KachelY 45547 -0.29797577 0.83825562 -17.072754 48.028509
    Unten links KachelX 59319 KachelY + 1 45548 -0.29802370 0.83822356 -17.075500 48.026672
    Unten rechts KachelX + 1 59320 KachelY + 1 45548 -0.29797577 0.83822356 -17.072754 48.026672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83825562-0.83822356) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83825562-0.83822356) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29802370--0.29797577) × cos(0.83825562) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668760750249935 × 6371000     		do = 204.214140280768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29802370--0.29797577) × cos(0.83822356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668784585800624 × 6371000     		du = 204.221418752913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83825562)-sin(0.83822356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668760750249935-0.668784585800624)×R²
    abs(-0.29797577--0.29802370)×2.38355506886334e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38355506886334e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38355506886334e-05×40589641000000     		ar = 41712.3514376123m²