Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59318 / 45541
↖ ↑ ↗
← N 48.039529°
W 17.078247°		 ← 204.21 m → N 48.039529°
W 17.075500°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 48.037692°
W 17.078247°		 ← 204.22 m →
41 712 m²		 N 48.037692°
W 17.075500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452564239501953 y=0.347454071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452564239501953 × 217)
    floor (0.452564239501953 × 131072)
    floor (59318.5)     		tx = 59318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347454071044922 × 217)
    floor (0.347454071044922 × 131072)
    floor (45541.5)     		ty = 45541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59318 / 45541 ti = "17/59318/45541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59318/45541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59318 ÷ 217
    59318 ÷ 131072     		x = 0.452560424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45541 ÷ 217
    45541 ÷ 131072     		y = 0.347450256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452560424804688 × 2 - 1) × π
    -0.094879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29807164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347450256347656 × 2 - 1) × π
    0.305099487304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.958498307903023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29807164} λ = -0.29807164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958498307903023))-π/2
    2×atan(2.60777745278691)-π/2
    2×1.20462213679389-π/2
    2.40924427358777-1.57079632675     		φ = 0.83844795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29807164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.078247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83844795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.039529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59318 KachelY 45541 -0.29807164 0.83844795 -17.078247 48.039529
    Oben rechts KachelX + 1 59319 KachelY 45541 -0.29802370 0.83844795 -17.075500 48.039529
    Unten links KachelX 59318 KachelY + 1 45542 -0.29807164 0.83841589 -17.078247 48.037692
    Unten rechts KachelX + 1 59319 KachelY + 1 45542 -0.29802370 0.83841589 -17.075500 48.037692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83844795-0.83841589) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83844795-0.83841589) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29807164--0.29802370) × cos(0.83844795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668617744819839 × 6371000     		do = 204.213069488833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29807164--0.29802370) × cos(0.83841589) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668641584493806 × 6371000     		du = 204.220350738896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83844795)-sin(0.83841589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668617744819839-0.668641584493806)×R²
    abs(-0.29802370--0.29807164)×2.38396739667968e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38396739667968e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38396739667968e-05×40589641000000     		ar = 41712.1330075582m²