Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59317 / 33509
↖ ↑ ↗
← N 65.688823°
W 17.080994°		 ← 125.74 m → N 65.688823°
W 17.078247°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 65.687692°
W 17.080994°		 ← 125.75 m →
15 814 m²		 N 65.687692°
W 17.078247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452556610107422 y=0.255657196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452556610107422 × 217)
    floor (0.452556610107422 × 131072)
    floor (59317.5)     		tx = 59317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255657196044922 × 217)
    floor (0.255657196044922 × 131072)
    floor (33509.5)     		ty = 33509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59317 / 33509 ti = "17/59317/33509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59317/33509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59317 ÷ 217
    59317 ÷ 131072     		x = 0.452552795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33509 ÷ 217
    33509 ÷ 131072     		y = 0.255653381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452552795410156 × 2 - 1) × π
    -0.0948944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29811958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255653381347656 × 2 - 1) × π
    0.488693237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.53527508413154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29811958} λ = -0.29811958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53527508413154))-π/2
    2×atan(4.64260246058018)-π/2
    2×1.35864128214979-π/2
    2.71728256429957-1.57079632675     		φ = 1.14648624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29811958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.080994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14648624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.688823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59317 KachelY 33509 -0.29811958 1.14648624 -17.080994 65.688823
    Oben rechts KachelX + 1 59318 KachelY 33509 -0.29807164 1.14648624 -17.078247 65.688823
    Unten links KachelX 59317 KachelY + 1 33510 -0.29811958 1.14646650 -17.080994 65.687692
    Unten rechts KachelX + 1 59318 KachelY + 1 33510 -0.29807164 1.14646650 -17.078247 65.687692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14648624-1.14646650) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14648624-1.14646650) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29811958--0.29807164) × cos(1.14648624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411692146012795 × 6371000     		do = 125.741378348063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29811958--0.29807164) × cos(1.14646650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41171013544824 × 6371000     		du = 125.746872784696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14648624)-sin(1.14646650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411692146012795-0.41171013544824)×R²
    abs(-0.29807164--0.29811958)×1.79894354453425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79894354453425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79894354453425e-05×40589641000000     		ar = 15814.0263660356m²