Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59317 / 27376
↖ ↑ ↗
← N 71.760191°
W 17.080994°		 ← 95.60 m → N 71.760191°
W 17.078247°		 →
↑
95.57 m
↓
↑
95.57 m
↓
N 71.759332°
W 17.080994°		 ← 95.60 m →
9 136 m²		 N 71.759332°
W 17.078247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452556610107422 y=0.208866119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452556610107422 × 217)
    floor (0.452556610107422 × 131072)
    floor (59317.5)     		tx = 59317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208866119384766 × 217)
    floor (0.208866119384766 × 131072)
    floor (27376.5)     		ty = 27376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59317 / 27376 ti = "17/59317/27376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59317/27376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59317 ÷ 217
    59317 ÷ 131072     		x = 0.452552795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27376 ÷ 217
    27376 ÷ 131072     		y = 0.2088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452552795410156 × 2 - 1) × π
    -0.0948944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29811958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2088623046875 × 2 - 1) × π
    0.582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29811958} λ = -0.29811958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82927208950134))-π/2
    2×atan(6.22935059810183)-π/2
    2×1.41162396917626-π/2
    2.82324793835252-1.57079632675     		φ = 1.25245161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29811958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.080994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25245161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59317 KachelY 27376 -0.29811958 1.25245161 -17.080994 71.760191
    Oben rechts KachelX + 1 59318 KachelY 27376 -0.29807164 1.25245161 -17.078247 71.760191
    Unten links KachelX 59317 KachelY + 1 27377 -0.29811958 1.25243661 -17.080994 71.759332
    Unten rechts KachelX + 1 59318 KachelY + 1 27377 -0.29807164 1.25243661 -17.078247 71.759332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25245161-1.25243661) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dl = 95.5650000006261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25245161-1.25243661) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dr = 95.5650000006261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29811958--0.29807164) × cos(1.25245161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312994876938216 × 6371000     		do = 95.5966919050009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29811958--0.29807164) × cos(1.25243661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313009123225216 × 6371000     		du = 95.6010430877501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25245161)-sin(1.25243661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312994876938216-0.313009123225216)×R²
    abs(-0.29807164--0.29811958)×1.42462869999749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42462869999749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42462869999749e-05×40589641000000     		ar = 9135.90577250131m²