Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59316 / 84701
↖ ↑ ↗
← S 46.492720°
W 17.083740°		 ← 210.27 m → S 46.492720°
W 17.080994°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
S 46.494611°
W 17.083740°		 ← 210.26 m →
44 207 m²		 S 46.494611°
W 17.080994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452548980712891 y=0.646221160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452548980712891 × 217)
    floor (0.452548980712891 × 131072)
    floor (59316.5)     		tx = 59316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646221160888672 × 217)
    floor (0.646221160888672 × 131072)
    floor (84701.5)     		ty = 84701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59316 / 84701 ti = "17/59316/84701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59316/84701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59316 ÷ 217
    59316 ÷ 131072     		x = 0.452545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84701 ÷ 217
    84701 ÷ 131072     		y = 0.646217346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.09490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29816752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646217346191406 × 2 - 1) × π
    -0.292434692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.918710681218376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29816752} λ = -0.29816752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918710681218376))-π/2
    2×atan(0.399033190549075)-π/2
    2×0.379672642929825-π/2
    0.759345285859651-1.57079632675     		φ = -0.81145104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29816752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.083740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81145104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.492720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59316 KachelY 84701 -0.29816752 -0.81145104 -17.083740 -46.492720
    Oben rechts KachelX + 1 59317 KachelY 84701 -0.29811958 -0.81145104 -17.080994 -46.492720
    Unten links KachelX 59316 KachelY + 1 84702 -0.29816752 -0.81148404 -17.083740 -46.494611
    Unten rechts KachelX + 1 59317 KachelY + 1 84702 -0.29811958 -0.81148404 -17.080994 -46.494611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81145104--0.81148404) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dl = 210.24299999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81145104--0.81148404) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dr = 210.24299999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29816752--0.29811958) × cos(-0.81145104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688446737783818 × 6371000     		do = 210.269354338314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29816752--0.29811958) × cos(-0.81148404) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688422802941219 × 6371000     		du = 210.262044021302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81145104)-sin(-0.81148404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688446737783818-0.688422802941219)×R²
    abs(-0.29811958--0.29816752)×2.39348425986607e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39348425986607e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39348425986607e-05×40589641000000     		ar = 44206.8913967535m²