Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59316 / 59633
↖ ↑ ↗
← S 81.295860°
E145.832519°		 ← 92.44 m → S 81.295860°
E145.838013°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 81.296692°
E145.832519°		 ← 92.43 m →
8 545 m²		 S 81.296692°
E145.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905097961425781 y=0.909934997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905097961425781 × 216)
    floor (0.905097961425781 × 65536)
    floor (59316.5)     		tx = 59316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909934997558594 × 216)
    floor (0.909934997558594 × 65536)
    floor (59633.5)     		ty = 59633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59316 / 59633 ti = "16/59316/59633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59316/59633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59316 ÷ 216
    59316 ÷ 65536     		x = 0.90509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59633 ÷ 216
    59633 ÷ 65536     		y = 0.909927368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90509033203125 × 2 - 1) × π
    0.8101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54525762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909927368164062 × 2 - 1) × π
    -0.819854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57564961658562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54525762} λ = 2.54525762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57564961658562))-π/2
    2×atan(0.076104368077305)-π/2
    2×0.0759579475794366-π/2
    0.151915895158873-1.57079632675     		φ = -1.41888043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54525762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.832519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41888043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.295860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59316 KachelY 59633 2.54525762 -1.41888043 145.832519 -81.295860
    Oben rechts KachelX + 1 59317 KachelY 59633 2.54535350 -1.41888043 145.838013 -81.295860
    Unten links KachelX 59316 KachelY + 1 59634 2.54525762 -1.41889494 145.832519 -81.296692
    Unten rechts KachelX + 1 59317 KachelY + 1 59634 2.54535350 -1.41889494 145.838013 -81.296692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41888043--1.41889494) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41888043--1.41889494) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54525762-2.54535350) × cos(-1.41888043) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151332240385521 × 6371000     		do = 92.4415230111504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54525762-2.54535350) × cos(-1.41889494) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151317897481908 × 6371000     		du = 92.4327616272513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41888043)-sin(-1.41889494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151332240385521-0.151317897481908)×R²
    abs(2.54535350-2.54525762)×1.43429036123521e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43429036123521e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43429036123521e-05×40589641000000     		ar = 8545.186159097m²