Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59316 / 45558
↖ ↑ ↗
← N 48.008300°
W 17.083740°		 ← 204.34 m → N 48.008300°
W 17.080994°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
N 48.006463°
W 17.083740°		 ← 204.34 m →
41 750 m²		 N 48.006463°
W 17.080994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452548980712891 y=0.347583770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452548980712891 × 217)
    floor (0.452548980712891 × 131072)
    floor (59316.5)     		tx = 59316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347583770751953 × 217)
    floor (0.347583770751953 × 131072)
    floor (45558.5)     		ty = 45558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59316 / 45558 ti = "17/59316/45558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59316/45558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59316 ÷ 217
    59316 ÷ 131072     		x = 0.452545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45558 ÷ 217
    45558 ÷ 131072     		y = 0.347579956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.09490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29816752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347579956054688 × 2 - 1) × π
    0.304840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.957683380609482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29816752} λ = -0.29816752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957683380609482))-π/2
    2×atan(2.60565316945095)-π/2
    2×1.20434961681862-π/2
    2.40869923363725-1.57079632675     		φ = 0.83790291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29816752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.083740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83790291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.008300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59316 KachelY 45558 -0.29816752 0.83790291 -17.083740 48.008300
    Oben rechts KachelX + 1 59317 KachelY 45558 -0.29811958 0.83790291 -17.080994 48.008300
    Unten links KachelX 59316 KachelY + 1 45559 -0.29816752 0.83787084 -17.083740 48.006463
    Unten rechts KachelX + 1 59317 KachelY + 1 45559 -0.29811958 0.83787084 -17.080994 48.006463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83790291-0.83787084) × R
    3.20699999999396e-05 × 6371000     		dl = 204.317969999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83790291-0.83787084) × R
    3.20699999999396e-05 × 6371000     		dr = 204.317969999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29816752--0.29811958) × cos(0.83790291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669022940658229 × 6371000     		do = 204.336826727618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29816752--0.29811958) × cos(0.83787084) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669046776077235 × 6371000     		du = 204.344106678106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83790291)-sin(0.83787084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669022940658229-0.669046776077235)×R²
    abs(-0.29811958--0.29816752)×2.38354190063017e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38354190063017e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38354190063017e-05×40589641000000     		ar = 41750.4293491727m²