Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59315 / 84677
↖ ↑ ↗
← S 46.447320°
W 17.086487°		 ← 210.40 m → S 46.447320°
W 17.083740°		 →
↑
210.43 m
↓
↑
210.43 m
↓
S 46.449212°
W 17.086487°		 ← 210.39 m →
44 275 m²		 S 46.449212°
W 17.083740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452541351318359 y=0.646038055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452541351318359 × 217)
    floor (0.452541351318359 × 131072)
    floor (59315.5)     		tx = 59315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646038055419922 × 217)
    floor (0.646038055419922 × 131072)
    floor (84677.5)     		ty = 84677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59315 / 84677 ti = "17/59315/84677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59315/84677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59315 ÷ 217
    59315 ÷ 131072     		x = 0.452537536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84677 ÷ 217
    84677 ÷ 131072     		y = 0.646034240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452537536621094 × 2 - 1) × π
    -0.0949249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29821545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646034240722656 × 2 - 1) × π
    -0.292068481445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.917560195627495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29821545} λ = -0.29821545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917560195627495))-π/2
    2×atan(0.399492536669966)-π/2
    2×0.380068832187492-π/2
    0.760137664374984-1.57079632675     		φ = -0.81065866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29821545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.086487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81065866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.447320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59315 KachelY 84677 -0.29821545 -0.81065866 -17.086487 -46.447320
    Oben rechts KachelX + 1 59316 KachelY 84677 -0.29816752 -0.81065866 -17.083740 -46.447320
    Unten links KachelX 59315 KachelY + 1 84678 -0.29821545 -0.81069169 -17.086487 -46.449212
    Unten rechts KachelX + 1 59316 KachelY + 1 84678 -0.29816752 -0.81069169 -17.083740 -46.449212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81065866--0.81069169) × R
    3.30299999999895e-05 × 6371000     		dl = 210.434129999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81065866--0.81069169) × R
    3.30299999999895e-05 × 6371000     		dr = 210.434129999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29821545--0.29816752) × cos(-0.81065866) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68902122443239 × 6371000     		do = 210.400919805645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29821545--0.29816752) × cos(-0.81069169) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.688997285855951 × 6371000     		du = 210.393609873349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81065866)-sin(-0.81069169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68902122443239-0.688997285855951)×R²
    abs(-0.29816752--0.29821545)×2.39385764396749e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39385764396749e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39385764396749e-05×40589641000000     		ar = 44274.7653849522m²