Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59314 / 84694
↖ ↑ ↗
← S 46.479482°
W 17.089233°		 ← 210.32 m → S 46.479482°
W 17.086487°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
S 46.481374°
W 17.089233°		 ← 210.31 m →
44 231 m²		 S 46.481374°
W 17.086487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452533721923828 y=0.646167755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452533721923828 × 217)
    floor (0.452533721923828 × 131072)
    floor (59314.5)     		tx = 59314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646167755126953 × 217)
    floor (0.646167755126953 × 131072)
    floor (84694.5)     		ty = 84694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59314 / 84694 ti = "17/59314/84694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59314/84694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59314 ÷ 217
    59314 ÷ 131072     		x = 0.452529907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84694 ÷ 217
    84694 ÷ 131072     		y = 0.646163940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452529907226562 × 2 - 1) × π
    -0.094940185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29826339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646163940429688 × 2 - 1) × π
    -0.292327880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.918375122921036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29826339} λ = -0.29826339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918375122921036))-π/2
    2×atan(0.399167111915035)-π/2
    2×0.379788163993213-π/2
    0.759576327986427-1.57079632675     		φ = -0.81122000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29826339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.089233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81122000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.479482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59314 KachelY 84694 -0.29826339 -0.81122000 -17.089233 -46.479482
    Oben rechts KachelX + 1 59315 KachelY 84694 -0.29821545 -0.81122000 -17.086487 -46.479482
    Unten links KachelX 59314 KachelY + 1 84695 -0.29826339 -0.81125301 -17.089233 -46.481374
    Unten rechts KachelX + 1 59315 KachelY + 1 84695 -0.29821545 -0.81125301 -17.086487 -46.481374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81122000--0.81125301) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dl = 210.30671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81122000--0.81125301) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dr = 210.30671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29826339--0.29821545) × cos(-0.81122000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688614289693544 × 6371000     		do = 210.320529004331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29826339--0.29821545) × cos(-0.81125301) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688590352848926 × 6371000     		du = 210.31321807585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81122000)-sin(-0.81125301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688614289693544-0.688590352848926)×R²
    abs(-0.29821545--0.29826339)×2.39368446183219e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39368446183219e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39368446183219e-05×40589641000000     		ar = 44231.0497357927m²