Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59314 / 59637
↖ ↑ ↗
← S 81.299185°
E145.821533°		 ← 92.41 m → S 81.299185°
E145.827026°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 81.300016°
E145.821533°		 ← 92.40 m →
8 536 m²		 S 81.300016°
E145.827026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905067443847656 y=0.909996032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905067443847656 × 216)
    floor (0.905067443847656 × 65536)
    floor (59314.5)     		tx = 59314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909996032714844 × 216)
    floor (0.909996032714844 × 65536)
    floor (59637.5)     		ty = 59637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59314 / 59637 ti = "16/59314/59637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59314/59637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59314 ÷ 216
    59314 ÷ 65536     		x = 0.905059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59637 ÷ 216
    59637 ÷ 65536     		y = 0.909988403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905059814453125 × 2 - 1) × π
    0.81011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54506587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909988403320312 × 2 - 1) × π
    -0.819976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57603311178258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54506587} λ = 2.54506587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57603311178258))-π/2
    2×atan(0.0760751880132444)-π/2
    2×0.0759289354853738-π/2
    0.151857870970748-1.57079632675     		φ = -1.41893846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54506587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41893846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.299185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59314 KachelY 59637 2.54506587 -1.41893846 145.821533 -81.299185
    Oben rechts KachelX + 1 59315 KachelY 59637 2.54516175 -1.41893846 145.827026 -81.299185
    Unten links KachelX 59314 KachelY + 1 59638 2.54506587 -1.41895296 145.821533 -81.300016
    Unten rechts KachelX + 1 59315 KachelY + 1 59638 2.54516175 -1.41895296 145.827026 -81.300016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41893846--1.41895296) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41893846--1.41895296) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54506587-2.54516175) × cos(-1.41893846) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15127487846485 × 6371000     		do = 92.4064833970129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54506587-2.54516175) × cos(-1.41895296) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151260545318783 × 6371000     		du = 92.3977279735249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41893846)-sin(-1.41895296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15127487846485-0.151260545318783)×R²
    abs(2.54516175-2.54506587)×1.43331460669971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43331460669971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43331460669971e-05×40589641000000     		ar = 8536.06032242625m²