Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59313 / 59634
↖ ↑ ↗
← S 81.296692°
E145.816040°		 ← 92.42 m → S 81.296692°
E145.821533°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 81.297523°
E145.816040°		 ← 92.41 m →
8 543 m²		 S 81.297523°
E145.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905052185058594 y=0.909950256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905052185058594 × 216)
    floor (0.905052185058594 × 65536)
    floor (59313.5)     		tx = 59313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909950256347656 × 216)
    floor (0.909950256347656 × 65536)
    floor (59634.5)     		ty = 59634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59313 / 59634 ti = "16/59313/59634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59313/59634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59313 ÷ 216
    59313 ÷ 65536     		x = 0.905044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59634 ÷ 216
    59634 ÷ 65536     		y = 0.909942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905044555664062 × 2 - 1) × π
    0.810089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54497000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.81988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57574549038486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54497000} λ = 2.54497000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57574549038486))-π/2
    2×atan(0.076097072012155)-π/2
    2×0.0759506935248351-π/2
    0.15190138704967-1.57079632675     		φ = -1.41889494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54497000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41889494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.296692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59313 KachelY 59634 2.54497000 -1.41889494 145.816040 -81.296692
    Oben rechts KachelX + 1 59314 KachelY 59634 2.54506587 -1.41889494 145.821533 -81.296692
    Unten links KachelX 59313 KachelY + 1 59635 2.54497000 -1.41890945 145.816040 -81.297523
    Unten rechts KachelX + 1 59314 KachelY + 1 59635 2.54506587 -1.41890945 145.821533 -81.297523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41889494--1.41890945) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41889494--1.41890945) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54497000-2.54506587) × cos(-1.41889494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151317897481908 × 6371000     		do = 92.4231211640613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54497000-2.54506587) × cos(-1.41890945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151303554546437 × 6371000     		du = 92.4143606744899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41889494)-sin(-1.41890945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151317897481908-0.151303554546437)×R²
    abs(2.54506587-2.54497000)×1.43429354708402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43429354708402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43429354708402e-05×40589641000000     		ar = 8543.4850751125m²