Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59312 / 60143
↖ ↑ ↗
← S 81.709733°
E145.810547°		 ← 88.07 m → S 81.709733°
E145.816040°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
S 81.710526°
E145.810547°		 ← 88.06 m →
7 759 m²		 S 81.710526°
E145.816040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905036926269531 y=0.917716979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905036926269531 × 216)
    floor (0.905036926269531 × 65536)
    floor (59312.5)     		tx = 59312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917716979980469 × 216)
    floor (0.917716979980469 × 65536)
    floor (60143.5)     		ty = 60143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59312 / 60143 ti = "16/59312/60143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59312/60143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59312 ÷ 216
    59312 ÷ 65536     		x = 0.905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60143 ÷ 216
    60143 ÷ 65536     		y = 0.917709350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905029296875 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54487413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917709350585938 × 2 - 1) × π
    -0.835418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62454525419807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54487413} λ = 2.54487413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62454525419807))-π/2
    2×atan(0.0724727062008351)-π/2
    2×0.0723462219290582-π/2
    0.144692443858116-1.57079632675     		φ = -1.42610388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54487413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42610388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.709733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59312 KachelY 60143 2.54487413 -1.42610388 145.810547 -81.709733
    Oben rechts KachelX + 1 59313 KachelY 60143 2.54497000 -1.42610388 145.816040 -81.709733
    Unten links KachelX 59312 KachelY + 1 60144 2.54487413 -1.42611771 145.810547 -81.710526
    Unten rechts KachelX + 1 59313 KachelY + 1 60144 2.54497000 -1.42611771 145.816040 -81.710526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42610388--1.42611771) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42610388--1.42611771) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54487413-2.54497000) × cos(-1.42610388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144188097168809 × 6371000     		do = 88.0683263302782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54487413-2.54497000) × cos(-1.42611771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144174411674396 × 6371000     		du = 88.0599673976645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42610388)-sin(-1.42611771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144188097168809-0.144174411674396)×R²
    abs(2.54497000-2.54487413)×1.36854944126907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36854944126907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36854944126907e-05×40589641000000     		ar = 7759.41388010862m²