Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59312 / 33521
↖ ↑ ↗
← N 65.675250°
W 17.094726°		 ← 125.78 m → N 65.675250°
W 17.091980°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 65.674119°
W 17.094726°		 ← 125.79 m →
15 819 m²		 N 65.674119°
W 17.091980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452518463134766 y=0.255748748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452518463134766 × 217)
    floor (0.452518463134766 × 131072)
    floor (59312.5)     		tx = 59312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255748748779297 × 217)
    floor (0.255748748779297 × 131072)
    floor (33521.5)     		ty = 33521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59312 / 33521 ti = "17/59312/33521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59312/33521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59312 ÷ 217
    59312 ÷ 131072     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33521 ÷ 217
    33521 ÷ 131072     		y = 0.255744934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255744934082031 × 2 - 1) × π
    0.488510131835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.5346998413361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5346998413361))-π/2
    2×atan(4.63993260494387)-π/2
    2×1.35852283963681-π/2
    2.71704567927362-1.57079632675     		φ = 1.14624935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14624935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.675250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59312 KachelY 33521 -0.29835926 1.14624935 -17.094726 65.675250
    Oben rechts KachelX + 1 59313 KachelY 33521 -0.29831133 1.14624935 -17.091980 65.675250
    Unten links KachelX 59312 KachelY + 1 33522 -0.29835926 1.14622961 -17.094726 65.674119
    Unten rechts KachelX + 1 59313 KachelY + 1 33522 -0.29831133 1.14622961 -17.091980 65.674119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14624935-1.14622961) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14624935-1.14622961) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29831133) × cos(1.14624935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411908017760464 × 6371000     		do = 125.781068476688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29831133) × cos(1.14622961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411926005270205 × 6371000     		du = 125.786561179177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14624935)-sin(1.14622961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411908017760464-0.411926005270205)×R²
    abs(-0.29831133--0.29835926)×1.79875097401361e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79875097401361e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79875097401361e-05×40589641000000     		ar = 15819.017827909m²