Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59312 / 33520
↖ ↑ ↗
← N 65.676382°
W 17.094726°		 ← 125.78 m → N 65.676382°
W 17.091980°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
N 65.675250°
W 17.094726°		 ← 125.78 m →
15 826 m²		 N 65.675250°
W 17.091980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452518463134766 y=0.255741119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452518463134766 × 217)
    floor (0.452518463134766 × 131072)
    floor (59312.5)     		tx = 59312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255741119384766 × 217)
    floor (0.255741119384766 × 131072)
    floor (33520.5)     		ty = 33520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59312 / 33520 ti = "17/59312/33520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59312/33520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59312 ÷ 217
    59312 ÷ 131072     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33520 ÷ 217
    33520 ÷ 131072     		y = 0.2557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2557373046875 × 2 - 1) × π
    0.488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.53474777823572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53474777823572))-π/2
    2×atan(4.64015503425864)-π/2
    2×1.35853271221778-π/2
    2.71706542443556-1.57079632675     		φ = 1.14626910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14626910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.676382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59312 KachelY 33520 -0.29835926 1.14626910 -17.094726 65.676382
    Oben rechts KachelX + 1 59313 KachelY 33520 -0.29831133 1.14626910 -17.091980 65.676382
    Unten links KachelX 59312 KachelY + 1 33521 -0.29835926 1.14624935 -17.094726 65.675250
    Unten rechts KachelX + 1 59313 KachelY + 1 33521 -0.29831133 1.14624935 -17.091980 65.675250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14626910-1.14624935) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14626910-1.14624935) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29831133) × cos(1.14626910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411890020977881 × 6371000     		do = 125.775572942625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29831133) × cos(1.14624935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411908017760464 × 6371000     		du = 125.781068476688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14626910)-sin(1.14624935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411890020977881-0.411908017760464)×R²
    abs(-0.29831133--0.29835926)×1.79967825831295e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79967825831295e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79967825831295e-05×40589641000000     		ar = 15826.3402052186m²