Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59311 / 60142
↖ ↑ ↗
← S 81.708942°
E145.805054°		 ← 88.09 m → S 81.708942°
E145.810547°		 →
↑
88.05 m
↓
↑
88.05 m
↓
S 81.709733°
E145.805054°		 ← 88.08 m →
7 755 m²		 S 81.709733°
E145.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905021667480469 y=0.917701721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905021667480469 × 216)
    floor (0.905021667480469 × 65536)
    floor (59311.5)     		tx = 59311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917701721191406 × 216)
    floor (0.917701721191406 × 65536)
    floor (60142.5)     		ty = 60142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59311 / 60142 ti = "16/59311/60142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59311/60142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59311 ÷ 216
    59311 ÷ 65536     		x = 0.905014038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60142 ÷ 216
    60142 ÷ 65536     		y = 0.917694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905014038085938 × 2 - 1) × π
    0.810028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54477825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.83538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62444938039883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54477825} λ = 2.54477825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62444938039883))-π/2
    2×atan(0.0724796547676072)-π/2
    2×0.0723531341871435-π/2
    0.144706268374287-1.57079632675     		φ = -1.42609006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54477825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.805054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42609006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.708942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59311 KachelY 60142 2.54477825 -1.42609006 145.805054 -81.708942
    Oben rechts KachelX + 1 59312 KachelY 60142 2.54487413 -1.42609006 145.810547 -81.708942
    Unten links KachelX 59311 KachelY + 1 60143 2.54477825 -1.42610388 145.805054 -81.709733
    Unten rechts KachelX + 1 59312 KachelY + 1 60143 2.54487413 -1.42610388 145.810547 -81.709733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42609006--1.42610388) × R
    1.38200000001643e-05 × 6371000     		dl = 88.0472200010465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42609006--1.42610388) × R
    1.38200000001643e-05 × 6371000     		dr = 88.0472200010465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54477825-2.54487413) × cos(-1.42609006) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.14420177274016 × 6371000     		do = 88.0858662973007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54477825-2.54487413) × cos(-1.42610388) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.144188097168809 × 6371000     		du = 88.0775125543009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42609006)-sin(-1.42610388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14420177274016-0.144188097168809)×R²
    abs(2.54487413-2.54477825)×1.36755713512071e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.36755713512071e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.36755713512071e-05×40589641000000     		ar = 7755.34788714168m²