Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59309 / 85806
↖ ↑ ↗
← S 48.542069°
W 17.102966°		 ← 202.17 m → S 48.542069°
W 17.100220°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
S 48.543887°
W 17.102966°		 ← 202.16 m →
40 869 m²		 S 48.543887°
W 17.100220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452495574951172 y=0.654651641845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452495574951172 × 217)
    floor (0.452495574951172 × 131072)
    floor (59309.5)     		tx = 59309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654651641845703 × 217)
    floor (0.654651641845703 × 131072)
    floor (85806.5)     		ty = 85806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59309 / 85806 ti = "17/59309/85806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59309/85806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59309 ÷ 217
    59309 ÷ 131072     		x = 0.452491760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85806 ÷ 217
    85806 ÷ 131072     		y = 0.654647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452491760253906 × 2 - 1) × π
    -0.0950164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29850307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.309295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971680955298538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29850307} λ = -0.29850307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971680955298538))-π/2
    2×atan(0.378446351732496)-π/2
    2×0.361788700579429-π/2
    0.723577401158858-1.57079632675     		φ = -0.84721893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29850307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.102966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84721893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.542069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59309 KachelY 85806 -0.29850307 -0.84721893 -17.102966 -48.542069
    Oben rechts KachelX + 1 59310 KachelY 85806 -0.29845514 -0.84721893 -17.100220 -48.542069
    Unten links KachelX 59309 KachelY + 1 85807 -0.29850307 -0.84725066 -17.102966 -48.543887
    Unten rechts KachelX + 1 59310 KachelY + 1 85807 -0.29845514 -0.84725066 -17.100220 -48.543887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84721893--0.84725066) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84721893--0.84725066) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29850307--0.29845514) × cos(-0.84721893) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662069954319204 × 6371000     		do = 202.171025252809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29850307--0.29845514) × cos(-0.84725066) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662046174189905 × 6371000     		du = 202.163763704253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84721893)-sin(-0.84725066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662069954319204-0.662046174189905)×R²
    abs(-0.29845514--0.29850307)×2.37801292992668e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37801292992668e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37801292992668e-05×40589641000000     		ar = 40868.5087635m²