Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59304 / 45419
↖ ↑ ↗
← N 48.263084°
W 17.116699°		 ← 203.33 m → N 48.263084°
W 17.113953°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
N 48.261256°
W 17.116699°		 ← 203.33 m →
41 349 m²		 N 48.261256°
W 17.113953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452457427978516 y=0.346523284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452457427978516 × 217)
    floor (0.452457427978516 × 131072)
    floor (59304.5)     		tx = 59304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346523284912109 × 217)
    floor (0.346523284912109 × 131072)
    floor (45419.5)     		ty = 45419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59304 / 45419 ti = "17/59304/45419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59304/45419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59304 ÷ 217
    59304 ÷ 131072     		x = 0.45245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45419 ÷ 217
    45419 ÷ 131072     		y = 0.346519470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346519470214844 × 2 - 1) × π
    0.306961059570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.96434660965667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29874276} λ = -0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96434660965667))-π/2
    2×atan(2.62307320573032)-π/2
    2×1.20657302587844-π/2
    2.41314605175688-1.57079632675     		φ = 0.84234973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84234973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.263084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59304 KachelY 45419 -0.29874276 0.84234973 -17.116699 48.263084
    Oben rechts KachelX + 1 59305 KachelY 45419 -0.29869482 0.84234973 -17.113953 48.263084
    Unten links KachelX 59304 KachelY + 1 45420 -0.29874276 0.84231781 -17.116699 48.261256
    Unten rechts KachelX + 1 59305 KachelY + 1 45420 -0.29869482 0.84231781 -17.113953 48.261256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84234973-0.84231781) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dl = 203.362320000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84234973-0.84231781) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dr = 203.362320000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29874276--0.29869482) × cos(0.84234973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665711274565712 × 6371000     		do = 203.325358660442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29874276--0.29869482) × cos(0.84231781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665735093231261 × 6371000     		du = 203.332633493994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84234973)-sin(0.84231781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665711274565712-0.665735093231261)×R²
    abs(-0.29869482--0.29874276)×2.38186655492356e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38186655492356e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38186655492356e-05×40589641000000     		ar = 41349.456369054m²