Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59304 / 45415
↖ ↑ ↗
← N 48.270397°
W 17.116699°		 ← 203.30 m → N 48.270397°
W 17.113953°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
N 48.268569°
W 17.116699°		 ← 203.30 m →
41 318 m²		 N 48.268569°
W 17.113953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452457427978516 y=0.346492767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452457427978516 × 217)
    floor (0.452457427978516 × 131072)
    floor (59304.5)     		tx = 59304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346492767333984 × 217)
    floor (0.346492767333984 × 131072)
    floor (45415.5)     		ty = 45415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59304 / 45415 ti = "17/59304/45415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59304/45415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59304 ÷ 217
    59304 ÷ 131072     		x = 0.45245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45415 ÷ 217
    45415 ÷ 131072     		y = 0.346488952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346488952636719 × 2 - 1) × π
    0.307022094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.96453835725515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29874276} λ = -0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96453835725515))-π/2
    2×atan(2.62357622194269)-π/2
    2×1.20663684558182-π/2
    2.41327369116364-1.57079632675     		φ = 0.84247736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84247736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.270397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59304 KachelY 45415 -0.29874276 0.84247736 -17.116699 48.270397
    Oben rechts KachelX + 1 59305 KachelY 45415 -0.29869482 0.84247736 -17.113953 48.270397
    Unten links KachelX 59304 KachelY + 1 45416 -0.29874276 0.84244546 -17.116699 48.268569
    Unten rechts KachelX + 1 59305 KachelY + 1 45416 -0.29869482 0.84244546 -17.113953 48.268569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84247736-0.84244546) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84247736-0.84244546) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29874276--0.29869482) × cos(0.84247736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665616030435636 × 6371000     		do = 203.296268651533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29874276--0.29869482) × cos(0.84244546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665639836887651 × 6371000     		du = 203.303539754757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84247736)-sin(0.84244546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665616030435636-0.665639836887651)×R²
    abs(-0.29869482--0.29874276)×2.38064520151626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38064520151626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38064520151626e-05×40589641000000     		ar = 41317.6357040668m²