Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59304 / 38796
↖ ↑ ↗
← N 58.978330°
W 17.116699°		 ← 157.40 m → N 58.978330°
W 17.113953°		 →
↑
157.43 m
↓
↑
157.43 m
↓
N 58.976914°
W 17.116699°		 ← 157.41 m →
24 780 m²		 N 58.976914°
W 17.113953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452457427978516 y=0.295993804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452457427978516 × 217)
    floor (0.452457427978516 × 131072)
    floor (59304.5)     		tx = 59304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295993804931641 × 217)
    floor (0.295993804931641 × 131072)
    floor (38796.5)     		ty = 38796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59304 / 38796 ti = "17/59304/38796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59304/38796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59304 ÷ 217
    59304 ÷ 131072     		x = 0.45245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38796 ÷ 217
    38796 ÷ 131072     		y = 0.295989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295989990234375 × 2 - 1) × π
    0.40802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2818326958403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29874276} λ = -0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2818326958403))-π/2
    2×atan(3.60323731607508)-π/2
    2×1.30008118244768-π/2
    2.60016236489536-1.57079632675     		φ = 1.02936604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02936604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.978330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59304 KachelY 38796 -0.29874276 1.02936604 -17.116699 58.978330
    Oben rechts KachelX + 1 59305 KachelY 38796 -0.29869482 1.02936604 -17.113953 58.978330
    Unten links KachelX 59304 KachelY + 1 38797 -0.29874276 1.02934133 -17.116699 58.976914
    Unten rechts KachelX + 1 59305 KachelY + 1 38797 -0.29869482 1.02934133 -17.113953 58.976914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02936604-1.02934133) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dl = 157.42740999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02936604-1.02934133) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dr = 157.42740999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29874276--0.29869482) × cos(1.02936604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.515362234746533 × 6371000     		do = 157.40489191541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29874276--0.29869482) × cos(1.02934133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.515383410378246 × 6371000     		du = 157.411359498396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02936604)-sin(1.02934133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515362234746533-0.515383410378246)×R²
    abs(-0.29869482--0.29874276)×2.11756317128886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11756317128886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11756317128886e-05×40589641000000     		ar = 24780.3535441833m²