Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59302 / 84634
↖ ↑ ↗
← S 46.365884°
W 17.122192°		 ← 210.72 m → S 46.365884°
W 17.119446°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 46.367779°
W 17.122192°		 ← 210.71 m →
44 408 m²		 S 46.367779°
W 17.119446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452442169189453 y=0.645709991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452442169189453 × 217)
    floor (0.452442169189453 × 131072)
    floor (59302.5)     		tx = 59302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645709991455078 × 217)
    floor (0.645709991455078 × 131072)
    floor (84634.5)     		ty = 84634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59302 / 84634 ti = "17/59302/84634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59302/84634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59302 ÷ 217
    59302 ÷ 131072     		x = 0.452438354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84634 ÷ 217
    84634 ÷ 131072     		y = 0.645706176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452438354492188 × 2 - 1) × π
    -0.095123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29883863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645706176757812 × 2 - 1) × π
    -0.291412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.915498908943832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29883863} λ = -0.29883863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915498908943832))-π/2
    2×atan(0.400316854601944)-π/2
    2×0.380779497783269-π/2
    0.761558995566537-1.57079632675     		φ = -0.80923733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29883863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.122192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80923733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.365884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59302 KachelY 84634 -0.29883863 -0.80923733 -17.122192 -46.365884
    Oben rechts KachelX + 1 59303 KachelY 84634 -0.29879070 -0.80923733 -17.119446 -46.365884
    Unten links KachelX 59302 KachelY + 1 84635 -0.29883863 -0.80927041 -17.122192 -46.367779
    Unten rechts KachelX + 1 59303 KachelY + 1 84635 -0.29879070 -0.80927041 -17.119446 -46.367779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80923733--0.80927041) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80923733--0.80927041) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29883863--0.29879070) × cos(-0.80923733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.690050624468747 × 6371000     		do = 210.715259490429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29883863--0.29879070) × cos(-0.80927041) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.690026682073874 × 6371000     		du = 210.707948392128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80923733)-sin(-0.80927041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690050624468747-0.690026682073874)×R²
    abs(-0.29879070--0.29883863)×2.39423948726891e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39423948726891e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39423948726891e-05×40589641000000     		ar = 44408.0352419181m²