Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59302 / 82714
↖ ↑ ↗
← S 42.605663°
W 17.122192°		 ← 224.76 m → S 42.605663°
W 17.119446°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.607685°
W 17.122192°		 ← 224.75 m →
50 532 m²		 S 42.607685°
W 17.119446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452442169189453 y=0.631061553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452442169189453 × 217)
    floor (0.452442169189453 × 131072)
    floor (59302.5)     		tx = 59302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631061553955078 × 217)
    floor (0.631061553955078 × 131072)
    floor (82714.5)     		ty = 82714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59302 / 82714 ti = "17/59302/82714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59302/82714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59302 ÷ 217
    59302 ÷ 131072     		x = 0.452438354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82714 ÷ 217
    82714 ÷ 131072     		y = 0.631057739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452438354492188 × 2 - 1) × π
    -0.095123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29883863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631057739257812 × 2 - 1) × π
    -0.262115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.823460061673325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29883863} λ = -0.29883863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823460061673325))-π/2
    2×atan(0.438910367210198)-π/2
    2×0.413593611900393-π/2
    0.827187223800786-1.57079632675     		φ = -0.74360910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29883863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.122192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74360910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.605663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59302 KachelY 82714 -0.29883863 -0.74360910 -17.122192 -42.605663
    Oben rechts KachelX + 1 59303 KachelY 82714 -0.29879070 -0.74360910 -17.119446 -42.605663
    Unten links KachelX 59302 KachelY + 1 82715 -0.29883863 -0.74364439 -17.122192 -42.607685
    Unten rechts KachelX + 1 59303 KachelY + 1 82715 -0.29879070 -0.74364439 -17.119446 -42.607685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74360910--0.74364439) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74360910--0.74364439) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29883863--0.29879070) × cos(-0.74360910) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.736030182017006 × 6371000     		do = 224.75567052186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29883863--0.29879070) × cos(-0.74364439) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.736006292038319 × 6371000     		du = 224.748375429471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74360910)-sin(-0.74364439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736030182017006-0.736006292038319)×R²
    abs(-0.29879070--0.29883863)×2.3889978687075e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3889978687075e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3889978687075e-05×40589641000000     		ar = 50531.579438597m²