Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59302 / 59582
↖ ↑ ↗
← S 81.253362°
E145.755615°		 ← 92.88 m → S 81.253362°
E145.761108°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 81.254197°
E145.755615°		 ← 92.87 m →
8 627 m²		 S 81.254197°
E145.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904884338378906 y=0.909156799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904884338378906 × 216)
    floor (0.904884338378906 × 65536)
    floor (59302.5)     		tx = 59302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909156799316406 × 216)
    floor (0.909156799316406 × 65536)
    floor (59582.5)     		ty = 59582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59302 / 59582 ti = "16/59302/59582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59302/59582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59302 ÷ 216
    59302 ÷ 65536     		x = 0.904876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59582 ÷ 216
    59582 ÷ 65536     		y = 0.909149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904876708984375 × 2 - 1) × π
    0.80975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54391539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.81829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57076005282437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54391539} λ = 2.54391539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57076005282437))-π/2
    2×atan(0.0764773964673859)-π/2
    2×0.0763288173922206-π/2
    0.152657634784441-1.57079632675     		φ = -1.41813869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54391539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41813869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.253362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59302 KachelY 59582 2.54391539 -1.41813869 145.755615 -81.253362
    Oben rechts KachelX + 1 59303 KachelY 59582 2.54401126 -1.41813869 145.761108 -81.253362
    Unten links KachelX 59302 KachelY + 1 59583 2.54391539 -1.41815327 145.755615 -81.254197
    Unten rechts KachelX + 1 59303 KachelY + 1 59583 2.54401126 -1.41815327 145.761108 -81.254197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41813869--1.41815327) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41813869--1.41815327) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54391539-2.54401126) × cos(-1.41813869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152065396035741 × 6371000     		do = 92.8796841388353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54391539-2.54401126) × cos(-1.41815327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152050985578648 × 6371000     		du = 92.8708824078823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41813869)-sin(-1.41815327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152065396035741-0.152050985578648)×R²
    abs(2.54401126-2.54391539)×1.44104570937997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44104570937997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44104570937997e-05×40589641000000     		ar = 8627.10890591333m²