Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59301 / 59591
↖ ↑ ↗
← S 81.260877°
E145.750122°		 ← 92.80 m → S 81.260877°
E145.755615°		 →
↑
92.76 m
↓
↑
92.76 m
↓
S 81.261711°
E145.750122°		 ← 92.79 m →
8 608 m²		 S 81.261711°
E145.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904869079589844 y=0.909294128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904869079589844 × 216)
    floor (0.904869079589844 × 65536)
    floor (59301.5)     		tx = 59301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909294128417969 × 216)
    floor (0.909294128417969 × 65536)
    floor (59591.5)     		ty = 59591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59301 / 59591 ti = "16/59301/59591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59301/59591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59301 ÷ 216
    59301 ÷ 65536     		x = 0.904861450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59591 ÷ 216
    59591 ÷ 65536     		y = 0.909286499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904861450195312 × 2 - 1) × π
    0.809722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54381952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909286499023438 × 2 - 1) × π
    -0.818572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57162291701753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54381952} λ = 2.54381952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57162291701753))-π/2
    2×atan(0.0764114353222357)-π/2
    2×0.0762632394680044-π/2
    0.152526478936009-1.57079632675     		φ = -1.41826985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54381952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41826985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.260877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59301 KachelY 59591 2.54381952 -1.41826985 145.750122 -81.260877
    Oben rechts KachelX + 1 59302 KachelY 59591 2.54391539 -1.41826985 145.755615 -81.260877
    Unten links KachelX 59301 KachelY + 1 59592 2.54381952 -1.41828441 145.750122 -81.261711
    Unten rechts KachelX + 1 59302 KachelY + 1 59592 2.54391539 -1.41828441 145.755615 -81.261711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41826985--1.41828441) × R
    1.45600000001078e-05 × 6371000     		dl = 92.7617600006869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41826985--1.41828441) × R
    1.45600000001078e-05 × 6371000     		dr = 92.7617600006869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54381952-2.54391539) × cos(-1.41826985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151935760061969 × 6371000     		do = 92.8005040715028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54381952-2.54391539) × cos(-1.41828441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151921369082067 × 6371000     		du = 92.7917142369809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41826985)-sin(-1.41828441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151935760061969-0.151921369082067)×R²
    abs(2.54391539-2.54381952)×1.43909799011077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43909799011077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43909799011077e-05×40589641000000     		ar = 8607.93040663398m²