Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5930 / 7091
↖ ↑ ↗
← N 23.503552°
W 49.702149°		 ← 2 240.57 m → N 23.503552°
W 49.680176°		 →
↑
2 240.74 m
↓
↑
2 240.74 m
↓
N 23.483401°
W 49.702149°		 ← 2 240.92 m →
5 020 935 m²		 N 23.483401°
W 49.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361968994140625 y=0.432830810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361968994140625 × 214)
    floor (0.361968994140625 × 16384)
    floor (5930.5)     		tx = 5930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432830810546875 × 214)
    floor (0.432830810546875 × 16384)
    floor (7091.5)     		ty = 7091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5930 / 7091 ti = "14/5930/7091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5930/7091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5930 ÷ 214
    5930 ÷ 16384     		x = 0.3619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7091 ÷ 214
    7091 ÷ 16384     		y = 0.43280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.86746614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43280029296875 × 2 - 1) × π
    0.1343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.422228211853455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86746614} λ = -0.86746614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422228211853455))-π/2
    2×atan(1.52535658941997)-π/2
    2×0.990505346653621-π/2
    1.98101069330724-1.57079632675     		φ = 0.41021437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86746614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41021437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.503552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5930 KachelY 7091 -0.86746614 0.41021437 -49.702149 23.503552
    Oben rechts KachelX + 1 5931 KachelY 7091 -0.86708264 0.41021437 -49.680176 23.503552
    Unten links KachelX 5930 KachelY + 1 7092 -0.86746614 0.40986266 -49.702149 23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 5931 KachelY + 1 7092 -0.86708264 0.40986266 -49.680176 23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41021437-0.40986266) × R
    0.000351710000000005 × 6371000     		dl = 2240.74441000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41021437-0.40986266) × R
    0.000351710000000005 × 6371000     		dr = 2240.74441000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86746614--0.86708264) × cos(0.41021437) × R
    0.000383499999999981 × 0.917035351862707 × 6371000     		do = 2240.57275894598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86746614--0.86708264) × cos(0.40986266) × R
    0.000383499999999981 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 2240.91532445043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41021437)-sin(0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917035351862707-0.917175559172046)×R²
    abs(-0.86708264--0.86746614)×0.000140207309338836×R²
    0.000383499999999981×0.000140207309338836×6371000²
    0.000383499999999981×0.000140207309338836×40589641000000     		ar = 5020934.73743305m²