Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59299 / 86179
↖ ↑ ↗
← S 49.215803°
W 17.130432°		 ← 199.47 m → S 49.215803°
W 17.127686°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
S 49.217597°
W 17.130432°		 ← 199.46 m →
39 788 m²		 S 49.217597°
W 17.127686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452419281005859 y=0.657497406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452419281005859 × 217)
    floor (0.452419281005859 × 131072)
    floor (59299.5)     		tx = 59299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657497406005859 × 217)
    floor (0.657497406005859 × 131072)
    floor (86179.5)     		ty = 86179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59299 / 86179 ti = "17/59299/86179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59299/86179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59299 ÷ 217
    59299 ÷ 131072     		x = 0.452415466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86179 ÷ 217
    86179 ÷ 131072     		y = 0.657493591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452415466308594 × 2 - 1) × π
    -0.0951690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29898244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657493591308594 × 2 - 1) × π
    -0.314987182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.989561418856819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29898244} λ = -0.29898244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989561418856819))-π/2
    2×atan(0.371739693294222)-π/2
    2×0.355909259893842-π/2
    0.711818519787683-1.57079632675     		φ = -0.85897781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29898244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.130432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85897781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.215803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59299 KachelY 86179 -0.29898244 -0.85897781 -17.130432 -49.215803
    Oben rechts KachelX + 1 59300 KachelY 86179 -0.29893451 -0.85897781 -17.127686 -49.215803
    Unten links KachelX 59299 KachelY + 1 86180 -0.29898244 -0.85900912 -17.130432 -49.217597
    Unten rechts KachelX + 1 59300 KachelY + 1 86180 -0.29893451 -0.85900912 -17.127686 -49.217597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85897781--0.85900912) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85897781--0.85900912) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29898244--0.29893451) × cos(-0.85897781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653211786261594 × 6371000     		do = 199.466077072889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29898244--0.29893451) × cos(-0.85900912) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65318807878428 × 6371000     		du = 199.45883770949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85897781)-sin(-0.85900912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653211786261594-0.65318807878428)×R²
    abs(-0.29893451--0.29898244)×2.37074773142831e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37074773142831e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37074773142831e-05×40589641000000     		ar = 39787.9751484248m²