Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59299 / 85795
↖ ↑ ↗
← S 48.522062°
W 17.130432°		 ← 202.25 m → S 48.522062°
W 17.127686°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
S 48.523881°
W 17.130432°		 ← 202.24 m →
40 910 m²		 S 48.523881°
W 17.127686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452419281005859 y=0.654567718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452419281005859 × 217)
    floor (0.452419281005859 × 131072)
    floor (59299.5)     		tx = 59299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654567718505859 × 217)
    floor (0.654567718505859 × 131072)
    floor (85795.5)     		ty = 85795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59299 / 85795 ti = "17/59299/85795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59299/85795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59299 ÷ 217
    59299 ÷ 131072     		x = 0.452415466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85795 ÷ 217
    85795 ÷ 131072     		y = 0.654563903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452415466308594 × 2 - 1) × π
    -0.0951690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29898244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654563903808594 × 2 - 1) × π
    -0.309127807617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.971153649402718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29898244} λ = -0.29898244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971153649402718))-π/2
    2×atan(0.378645961348055)-π/2
    2×0.361963291767579-π/2
    0.723926583535157-1.57079632675     		φ = -0.84686974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29898244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.130432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84686974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.522062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59299 KachelY 85795 -0.29898244 -0.84686974 -17.130432 -48.522062
    Oben rechts KachelX + 1 59300 KachelY 85795 -0.29893451 -0.84686974 -17.127686 -48.522062
    Unten links KachelX 59299 KachelY + 1 85796 -0.29898244 -0.84690149 -17.130432 -48.523881
    Unten rechts KachelX + 1 59300 KachelY + 1 85796 -0.29893451 -0.84690149 -17.127686 -48.523881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84686974--0.84690149) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84686974--0.84690149) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29898244--0.29893451) × cos(-0.84686974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662331611616523 × 6371000     		do = 202.250925456517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29898244--0.29893451) × cos(-0.84690149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662307823839507 × 6371000     		du = 202.243661572638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84686974)-sin(-0.84690149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662331611616523-0.662307823839507)×R²
    abs(-0.29893451--0.29898244)×2.37877770160599e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37877770160599e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37877770160599e-05×40589641000000     		ar = 40910.4308500148m²