Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59298 / 45418
↖ ↑ ↗
← N 48.264913°
W 17.133179°		 ← 203.32 m → N 48.264913°
W 17.130432°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 48.263084°
W 17.133179°		 ← 203.33 m →
41 335 m²		 N 48.263084°
W 17.130432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452411651611328 y=0.346515655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452411651611328 × 217)
    floor (0.452411651611328 × 131072)
    floor (59298.5)     		tx = 59298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346515655517578 × 217)
    floor (0.346515655517578 × 131072)
    floor (45418.5)     		ty = 45418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59298 / 45418 ti = "17/59298/45418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59298/45418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59298 ÷ 217
    59298 ÷ 131072     		x = 0.452407836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45418 ÷ 217
    45418 ÷ 131072     		y = 0.346511840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452407836914062 × 2 - 1) × π
    -0.095184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29903038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346511840820312 × 2 - 1) × π
    0.306976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.96439454655629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29903038} λ = -0.29903038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96439454655629))-π/2
    2×atan(2.62319895074116)-π/2
    2×1.20658898166042-π/2
    2.41317796332084-1.57079632675     		φ = 0.84238164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29903038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.133179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84238164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.264913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59298 KachelY 45418 -0.29903038 0.84238164 -17.133179 48.264913
    Oben rechts KachelX + 1 59299 KachelY 45418 -0.29898244 0.84238164 -17.130432 48.264913
    Unten links KachelX 59298 KachelY + 1 45419 -0.29903038 0.84234973 -17.133179 48.263084
    Unten rechts KachelX + 1 59299 KachelY + 1 45419 -0.29898244 0.84234973 -17.130432 48.263084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84238164-0.84234973) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84238164-0.84234973) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29903038--0.29898244) × cos(0.84238164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665687462684185 × 6371000     		do = 203.318085898906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29903038--0.29898244) × cos(0.84234973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665711274565712 × 6371000     		du = 203.325358660442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84238164)-sin(0.84234973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665687462684185-0.665711274565712)×R²
    abs(-0.29898244--0.29903038)×2.38118815267807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38118815267807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38118815267807e-05×40589641000000     		ar = 41335.0235258069m²