Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59296 / 86116
↖ ↑ ↗
← S 49.102646°
W 17.138672°		 ← 199.92 m → S 49.102646°
W 17.135925°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 49.104444°
W 17.138672°		 ← 199.92 m →
39 968 m²		 S 49.104444°
W 17.135925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452396392822266 y=0.657016754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452396392822266 × 217)
    floor (0.452396392822266 × 131072)
    floor (59296.5)     		tx = 59296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657016754150391 × 217)
    floor (0.657016754150391 × 131072)
    floor (86116.5)     		ty = 86116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59296 / 86116 ti = "17/59296/86116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59296/86116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59296 ÷ 217
    59296 ÷ 131072     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86116 ÷ 217
    86116 ÷ 131072     		y = 0.657012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.31402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.986541394180756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986541394180756))-π/2
    2×atan(0.372864053283935)-π/2
    2×0.356896745718686-π/2
    0.713793491437373-1.57079632675     		φ = -0.85700284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85700284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.102646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59296 KachelY 86116 -0.29912625 -0.85700284 -17.138672 -49.102646
    Oben rechts KachelX + 1 59297 KachelY 86116 -0.29907832 -0.85700284 -17.135925 -49.102646
    Unten links KachelX 59296 KachelY + 1 86117 -0.29912625 -0.85703422 -17.138672 -49.104444
    Unten rechts KachelX + 1 59297 KachelY + 1 86117 -0.29907832 -0.85703422 -17.135925 -49.104444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85700284--0.85703422) × R
    3.13799999999143e-05 × 6371000     		dl = 199.921979999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85700284--0.85703422) × R
    3.13799999999143e-05 × 6371000     		dr = 199.921979999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(-0.85700284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654705909768968 × 6371000     		do = 199.92232565994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(-0.85703422) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654682189816042 × 6371000     		du = 199.915082486963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85700284)-sin(-0.85703422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654705909768968-0.654682189816042)×R²
    abs(-0.29907832--0.29912625)×2.37199529264931e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37199529264931e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37199529264931e-05×40589641000000     		ar = 39968.1431605499m²