Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59296 / 86115
S 49.100847°
W 17.138672°
← 199.93 m → S 49.100847°
W 17.135925°

199.99 m

199.99 m
S 49.102646°
W 17.138672°
← 199.92 m →
39 982 m²
S 49.102646°
W 17.135925°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452396392822266 y=0.657009124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452396392822266 × 217)
    floor (0.452396392822266 × 131072)
    floor (59296.5)
    tx = 59296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657009124755859 × 217)
    floor (0.657009124755859 × 131072)
    floor (86115.5)
    ty = 86115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59296 / 86115 ti = "17/59296/86115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59296/86115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59296 ÷ 217
    59296 ÷ 131072
    x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86115 ÷ 217
    86115 ÷ 131072
    y = 0.657005310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535
    Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.657005310058594 × 2 - 1) × π
    -0.314010620117188 × 3.1415926535
    Φ = -0.986493457281136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986493457281136))-π/2
    2×atan(0.372881927659047)-π/2
    2×0.356912438288813-π/2
    0.713824876577626-1.57079632675
    φ = -0.85697145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85697145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.100847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59296 KachelY 86115 -0.29912625 -0.85697145 -17.138672 -49.100847
    Oben rechts KachelX + 1 59297 KachelY 86115 -0.29907832 -0.85697145 -17.135925 -49.100847
    Unten links KachelX 59296 KachelY + 1 86116 -0.29912625 -0.85700284 -17.138672 -49.102646
    Unten rechts KachelX + 1 59297 KachelY + 1 86116 -0.29907832 -0.85700284 -17.135925 -49.102646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.85697145--0.85700284) × R
    3.13900000000755e-05 × 6371000
    dl = 199.985690000481m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.85697145--0.85700284) × R
    3.13900000000755e-05 × 6371000
    dr = 199.985690000481m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(-0.85697145) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654729636635834 × 6371000
    do = 199.929570944172m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(-0.85700284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654705909768968 × 6371000
    du = 199.92232565994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.85697145)-sin(-0.85700284))×
    abs(λ12)×abs(0.654729636635834-0.654705909768968)×
    abs(-0.29907832--0.29912625)×2.37268668664692e-05×
    4.79299999999738e-05×2.37268668664692e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37268668664692e-05×40589641000000
    ar = 39982.328723409m²