Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59296 / 85804
↖ ↑ ↗
← S 48.538432°
W 17.138672°		 ← 202.19 m → S 48.538432°
W 17.135925°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 48.540250°
W 17.138672°		 ← 202.18 m →
40 884 m²		 S 48.540250°
W 17.135925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452396392822266 y=0.654636383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452396392822266 × 217)
    floor (0.452396392822266 × 131072)
    floor (59296.5)     		tx = 59296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654636383056641 × 217)
    floor (0.654636383056641 × 131072)
    floor (85804.5)     		ty = 85804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59296 / 85804 ti = "17/59296/85804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59296/85804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59296 ÷ 217
    59296 ÷ 131072     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85804 ÷ 217
    85804 ÷ 131072     		y = 0.654632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971585081499298))-π/2
    2×atan(0.3784826365614)-π/2
    2×0.361820439300735-π/2
    0.723640878601471-1.57079632675     		φ = -0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59296 KachelY 85804 -0.29912625 -0.84715545 -17.138672 -48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 59297 KachelY 85804 -0.29907832 -0.84715545 -17.135925 -48.538432
    Unten links KachelX 59296 KachelY + 1 85805 -0.29912625 -0.84718719 -17.138672 -48.540250
    Unten rechts KachelX + 1 59297 KachelY + 1 85805 -0.29907832 -0.84718719 -17.135925 -48.540250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84715545--0.84718719) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dl = 202.215539999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84715545--0.84718719) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dr = 202.215539999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(-0.84715545) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 202.185552316048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(-0.84718719) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662093741276147 × 6371000     		du = 202.178288886268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84715545)-sin(-0.84718719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662093741276147)×R²
    abs(-0.29907832--0.29912625)×2.37862899307162e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37862899307162e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37862899307162e-05×40589641000000     		ar = 40884.3262559771m²