Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59296 / 45340
↖ ↑ ↗
← N 48.407326°
W 17.138672°		 ← 202.71 m → N 48.407326°
W 17.135925°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 48.405503°
W 17.138672°		 ← 202.72 m →
41 095 m²		 N 48.405503°
W 17.135925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452396392822266 y=0.345920562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452396392822266 × 217)
    floor (0.452396392822266 × 131072)
    floor (59296.5)     		tx = 59296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345920562744141 × 217)
    floor (0.345920562744141 × 131072)
    floor (45340.5)     		ty = 45340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59296 / 45340 ti = "17/59296/45340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59296/45340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59296 ÷ 217
    59296 ÷ 131072     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45340 ÷ 217
    45340 ÷ 131072     		y = 0.345916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345916748046875 × 2 - 1) × π
    0.30816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.968133624726654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968133624726654))-π/2
    2×atan(2.63302565663647)-π/2
    2×1.20783177447717-π/2
    2.41566354895433-1.57079632675     		φ = 0.84486722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84486722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.407326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59296 KachelY 45340 -0.29912625 0.84486722 -17.138672 48.407326
    Oben rechts KachelX + 1 59297 KachelY 45340 -0.29907832 0.84486722 -17.135925 48.407326
    Unten links KachelX 59296 KachelY + 1 45341 -0.29912625 0.84483540 -17.138672 48.405503
    Unten rechts KachelX + 1 59297 KachelY + 1 45341 -0.29907832 0.84483540 -17.135925 48.405503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84486722-0.84483540) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84486722-0.84483540) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(0.84486722) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		do = 202.70865722237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29907832) × cos(0.84483540) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663854389540111 × 6371000     		du = 202.715924014268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84486722)-sin(0.84483540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663830592239908-0.663854389540111)×R²
    abs(-0.29907832--0.29912625)×2.37973002030767e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37973002030767e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37973002030767e-05×40589641000000     		ar = 41094.8937158322m²