Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59295 / 85837
↖ ↑ ↗
← S 48.598409°
W 17.141418°		 ← 201.99 m → S 48.598409°
W 17.138672°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
S 48.600225°
W 17.141418°		 ← 201.98 m →
40 793 m²		 S 48.600225°
W 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452388763427734 y=0.654888153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452388763427734 × 217)
    floor (0.452388763427734 × 131072)
    floor (59295.5)     		tx = 59295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654888153076172 × 217)
    floor (0.654888153076172 × 131072)
    floor (85837.5)     		ty = 85837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59295 / 85837 ti = "17/59295/85837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59295/85837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59295 ÷ 217
    59295 ÷ 131072     		x = 0.452384948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85837 ÷ 217
    85837 ÷ 131072     		y = 0.654884338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452384948730469 × 2 - 1) × π
    -0.0952301025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29917419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654884338378906 × 2 - 1) × π
    -0.309768676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.97316699918676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29917419} λ = -0.29917419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97316699918676))-π/2
    2×atan(0.377884381504114)-π/2
    2×0.361297041983534-π/2
    0.722594083967068-1.57079632675     		φ = -0.84820224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29917419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.141418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84820224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.598409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59295 KachelY 85837 -0.29917419 -0.84820224 -17.141418 -48.598409
    Oben rechts KachelX + 1 59296 KachelY 85837 -0.29912625 -0.84820224 -17.138672 -48.598409
    Unten links KachelX 59295 KachelY + 1 85838 -0.29917419 -0.84823394 -17.141418 -48.600225
    Unten rechts KachelX + 1 59296 KachelY + 1 85838 -0.29912625 -0.84823394 -17.138672 -48.600225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84820224--0.84823394) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84820224--0.84823394) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29917419--0.29912625) × cos(-0.84820224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661332700505593 × 6371000     		do = 201.988029438221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29917419--0.29912625) × cos(-0.84823394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66130892223471 × 6371000     		du = 201.98076694224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84820224)-sin(-0.84823394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661332700505593-0.66130892223471)×R²
    abs(-0.29912625--0.29917419)×2.3778270882957e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3778270882957e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3778270882957e-05×40589641000000     		ar = 40792.9104509524m²