Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59294 / 86237
↖ ↑ ↗
← S 49.319752°
W 17.144165°		 ← 199.09 m → S 49.319752°
W 17.141418°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
S 49.321541°
W 17.144165°		 ← 199.08 m →
39 624 m²		 S 49.321541°
W 17.141418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452381134033203 y=0.657939910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452381134033203 × 217)
    floor (0.452381134033203 × 131072)
    floor (59294.5)     		tx = 59294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657939910888672 × 217)
    floor (0.657939910888672 × 131072)
    floor (86237.5)     		ty = 86237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59294 / 86237 ti = "17/59294/86237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59294/86237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59294 ÷ 217
    59294 ÷ 131072     		x = 0.452377319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86237 ÷ 217
    86237 ÷ 131072     		y = 0.657936096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452377319335938 × 2 - 1) × π
    -0.095245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29922213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657936096191406 × 2 - 1) × π
    -0.315872192382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.992341759034782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29922213} λ = -0.29922213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992341759034782))-π/2
    2×atan(0.37070756598661)-π/2
    2×0.35500214007358-π/2
    0.710004280147159-1.57079632675     		φ = -0.86079205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29922213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.144165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86079205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.319752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59294 KachelY 86237 -0.29922213 -0.86079205 -17.144165 -49.319752
    Oben rechts KachelX + 1 59295 KachelY 86237 -0.29917419 -0.86079205 -17.141418 -49.319752
    Unten links KachelX 59294 KachelY + 1 86238 -0.29922213 -0.86082329 -17.144165 -49.321541
    Unten rechts KachelX + 1 59295 KachelY + 1 86238 -0.29917419 -0.86082329 -17.141418 -49.321541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86079205--0.86082329) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86079205--0.86082329) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29922213--0.29917419) × cos(-0.86079205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651837014373776 × 6371000     		do = 199.087802474371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29922213--0.29917419) × cos(-0.86082329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651813322917788 × 6371000     		du = 199.080566493894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86079205)-sin(-0.86082329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651837014373776-0.651813322917788)×R²
    abs(-0.29917419--0.29922213)×2.36914559884616e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36914559884616e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36914559884616e-05×40589641000000     		ar = 39623.7332044289m²