Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59294 / 59607
↖ ↑ ↗
← S 81.274220°
E145.711670°		 ← 92.66 m → S 81.274220°
E145.717163°		 →
↑
92.63 m
↓
↑
92.63 m
↓
S 81.275053°
E145.711670°		 ← 92.65 m →
8 583 m²		 S 81.275053°
E145.717163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904762268066406 y=0.909538269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904762268066406 × 216)
    floor (0.904762268066406 × 65536)
    floor (59294.5)     		tx = 59294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909538269042969 × 216)
    floor (0.909538269042969 × 65536)
    floor (59607.5)     		ty = 59607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59294 / 59607 ti = "16/59294/59607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59294/59607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59294 ÷ 216
    59294 ÷ 65536     		x = 0.904754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59607 ÷ 216
    59607 ÷ 65536     		y = 0.909530639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904754638671875 × 2 - 1) × π
    0.80950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54314840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909530639648438 × 2 - 1) × π
    -0.819061279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57315689780537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54314840} λ = 2.54314840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57315689780537))-π/2
    2×atan(0.0762943115042902)-π/2
    2×0.0761467944965745-π/2
    0.152293588993149-1.57079632675     		φ = -1.41850274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54314840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41850274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.274220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59294 KachelY 59607 2.54314840 -1.41850274 145.711670 -81.274220
    Oben rechts KachelX + 1 59295 KachelY 59607 2.54324427 -1.41850274 145.717163 -81.274220
    Unten links KachelX 59294 KachelY + 1 59608 2.54314840 -1.41851728 145.711670 -81.275053
    Unten rechts KachelX + 1 59295 KachelY + 1 59608 2.54324427 -1.41851728 145.717163 -81.275053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41850274--1.41851728) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dl = 92.6343400000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41850274--1.41851728) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dr = 92.6343400000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54314840-2.54324427) × cos(-1.41850274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151705569710299 × 6371000     		do = 92.6599066199311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54314840-2.54324427) × cos(-1.41851728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151691197984176 × 6371000     		du = 92.6511285453811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41850274)-sin(-1.41851728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151705569710299-0.151691197984176)×R²
    abs(2.54324427-2.54314840)×1.43717261233411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43717261233411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43717261233411e-05×40589641000000     		ar = 8583.08271869514m²