Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59293 / 85782
↖ ↑ ↗
← S 48.498408°
W 17.146911°		 ← 202.35 m → S 48.498408°
W 17.144165°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 48.500228°
W 17.146911°		 ← 202.34 m →
40 942 m²		 S 48.500228°
W 17.144165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452373504638672 y=0.654468536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452373504638672 × 217)
    floor (0.452373504638672 × 131072)
    floor (59293.5)     		tx = 59293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654468536376953 × 217)
    floor (0.654468536376953 × 131072)
    floor (85782.5)     		ty = 85782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59293 / 85782 ti = "17/59293/85782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59293/85782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59293 ÷ 217
    59293 ÷ 131072     		x = 0.452369689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85782 ÷ 217
    85782 ÷ 131072     		y = 0.654464721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452369689941406 × 2 - 1) × π
    -0.0952606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29927006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654464721679688 × 2 - 1) × π
    -0.308929443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.970530469707657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29927006} λ = -0.29927006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970530469707657))-π/2
    2×atan(0.378881999362194)-π/2
    2×0.362169715752037-π/2
    0.724339431504074-1.57079632675     		φ = -0.84645690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29927006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.146911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84645690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.498408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59293 KachelY 85782 -0.29927006 -0.84645690 -17.146911 -48.498408
    Oben rechts KachelX + 1 59294 KachelY 85782 -0.29922213 -0.84645690 -17.144165 -48.498408
    Unten links KachelX 59293 KachelY + 1 85783 -0.29927006 -0.84648866 -17.146911 -48.500228
    Unten rechts KachelX + 1 59294 KachelY + 1 85783 -0.29922213 -0.84648866 -17.144165 -48.500228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84645690--0.84648866) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dl = 202.342960000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84645690--0.84648866) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dr = 202.342960000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29927006--0.29922213) × cos(-0.84645690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662640859355245 × 6371000     		do = 202.345357973786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29927006--0.29922213) × cos(-0.84648866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66261707277214 × 6371000     		du = 202.338094454482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84645690)-sin(-0.84648866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662640859355245-0.66261707277214)×R²
    abs(-0.29922213--0.29927006)×2.37865831044237e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37865831044237e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37865831044237e-05×40589641000000     		ar = 40942.4238170197m²